主题一 第一章 第3节 不等式的性质、一元二次不等式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第3节　不等式的性质、一元二次不等式 [课程标准要求] 1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质. 2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系. 1.两个实数大小比较的基本事实 a-b>0⇔a>b(a,b∈R), a-b=0⇔a=b(a,b∈R), a-b<0⇔a<b(a,b∈R). 2.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 性质2 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 性质3 可加性 a>b⇒a+c>b+c ⇒ 推论1 — a+b>c⇒a>c-b ⇒ 推论2 同向 可加性 ⇒a+c>b+d ⇒ 性质4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 推论3 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N+) 同正 性质5 — a>b>0⇒> (n∈N+) 同正 性质6 — ⇒< — ⇒> 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 所示 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠-} {x|x∈R} ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 1.若ab>0,且a>b⇔<. 2.若a>b>0,m>0⇒<; 若b>a>0,m>0⇒>. 1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　A　) A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3} C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6} 解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-6≤x≤1}. 2.已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是(　D　) A.ln a<ln b B.> C.a2<b2 D.a3<b3 解析:对于A,当a<b<0时,不等式无意义,故A错误.对于B,当a<0<b时,<,故B错误.对于C,当a<b<0时,a2>b2,故C错误.对于D,当a<b时,a3<b3成立,故D正确. 3.(多选题)设b>a>0,c∈R,则下列不等式正确的是(　ABC　) A.< B.> C.> D.ac3<bc3 解析:因为y=在(0,+∞)上单调递增, 所以<,A正确; 因为y=在(0,+∞)上单调递减, 所以>,B正确; 因为-=>0, 所以>,C正确; 当c=0时,ac3=bc3,所以D不正确. 4.已知-1<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是　　　　,3x+4y的取值范围是　　　　.  解析:因为-1<x<4,2<y<3, 所以-6<-2y<-4, 所以-7<x-2y<0. 由-1<x<4,2<y<3, 得-3<3x<12,8<4y<12, 所以5<3x+4y<24. 答案:(-7,0)　(5,24) 不等式的性质及应用 1.(2022·江西上饶联考)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　D　) A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,则< C.若a>b>c>0,则< D.若a>b>c>0,则> 解析:对于A,若a=1,b=-2,则a2=1<b2=4,所以A错误.对于B,若a=1,b=-2,则=1>=-,所以B错误.对于C,若a=3,b=2,c=1,则=>=,所以C错误.对于D,因为a>b>c>0,所以a-c>a-b>0,所以>>0,所以>,所以D正确. 2.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(　D　) A.y>x≥z B.z≥x>y C.y>z≥x D.z≥y>x 解析:由x2=4x+z-y-4知z-y=x2-4x+4=(x-2)2≥0,即z≥y; 由x+y2+2=0知,x=-(y2+2),则y-x=y2+2+y=(y+)2+>0,即y>x. 综上所述,z≥y>x. 3.已知a∈(-3,-2),b∈(2,4),则的取值范围是　　　　.  解析:因为a∈(-3,-2)