主题四 第十章 第5节 离散型随机变量的数字特征-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第5节　离散型随机变量的数字特征 [课程标准要求] 1.了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念. 3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. 1.离散型随机变量 如果随机试验每一个可能结果e,都唯一地对应着一个实数X(e),则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来,则称X为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列的概念. 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,其相应的概率为p1,p2,…,pn,记 P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n).(*) 或把(*)式列成下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分 布列). (2)离散型随机变量的分布列的性质. ①pi≥0,i=1,2,3,…,n; ②p1+p2+…+pn=1. 3.离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为随机变量X的均值或期望. (2)性质:若Y=aX+b,a,b是常数,则E(aX+b)=aE(X)+b. 4.离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 由数学期望的公式可知 D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn,则称D(X)为随机变量X的方差,并称为X的标准差,通常还用σ2表示方差D(X),用σ表示标准差. (2)性质:若Y=aX+b,a,b是常数,则D(aX+b)=a2D(X). 1.若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量. 2.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数. 3.方差与均值的关系:D(X)=E(X2)-(E(X))2. 1.抛掷两枚骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的试验结果为(　D　) A.一枚1点、一枚3点 B.两枚都是4点 C.两枚都是2点 D.一枚1点、一枚3点,或者两枚都是2点 解析:抛掷两枚骰子,所得点数之和记为X,则X=4表示的随机试验结果是一枚是1点,一枚是3点或者两枚都是2点. 2.(2022·广西桂林模拟)随机变量X的分布列如表所示, X -1 0 1 P a c 则P(|X|=1)等于(　C　) A. B. C. D. 解析:P(|X|=1)=a+c=1-=. 3.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 设Y=2X+1,则E(Y)=　　　　.  解析:E(X)=-+=-, E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=-+1=. 答案: 4.篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是:命中得1分,不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9,设其罚球一次的得分为X,则X的方差D(X)=　　　　.  解析:由题意知,随机变量X的可能取值为0,1. 因为P(X=1)=0.9, P(X=0)=1-0.9=0.1, 所以E(X)=1×0.9+0×0.1=0.9, D(X)=(1-0.9)2×0.9+(0-0.9)2×0.1=0.09. 答案:0.09 5.已知离散型随机变量X的取值为有限个,E(X)=,D(X)=,则E(X2)=　　　　.  解析:因为E(X)=, D(X)=, 由D(X)=E(X2)-(E(X))2, 得E(X2)=D(X)+(E(X))2=+=. 答案: 离散型随机变量的分布列性质 及简单应用 1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为 X 0 1 P 9a2-a 3-8a 则常数a的值为(　A　) A. B. C.或 D.-或- 解析:由分布列的性质可知 解得a=. 2.已知m,n∈(0,1),离散型随机变量X的分布列如表所示, X 0 3m 2 P m n 若P(X≤)=,则E(X)等于(　C　) A. B. C. D. 解析:由所给表格及离散型随机变量的分布列的意义知3m>, 否则P(X≤)=m+, 与已知P(X≤)=矛盾, 从而P(X=0)=P(X≤)=,解得m=, 又m++n=1,解得n=, 所以E(X)=0·m+3m·+2·n=3××+2×=. 3.已知随机变量X的分布列如下表,D(X)表示X的方差,则D(2X+1)=　　　　.  X 0 1 2 P a 1-2a 解析:由分