主题四 第十章 第2节 二项式定理-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，湘教版）

第2节　二项式定理 [课程标准要求] 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+…+an-rbr+…+bn(n∈N+). (2)二项展开式的通项:Tr+1=an-rbr,它表示通项为展开式的第r+1项. (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数,,…,. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n+1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即= 单调性 二项式系数 当k<(n∈N+)时,是递增的 当k>(n∈N+)时,是递减的 二项式系 数最大值 当n为偶数时,中间的一项取得最大值 当n为奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值 二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. 3.杨辉三角 下面的数表称为杨辉三角 其中第n行是1,,,…,,,1. 1.(a+b)n展开式的各二项式系数的和:+++…+=2n. 2.在(a+b)n的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1. 1.在(x-)4的二项展开式中,第2项的系数为(　B　) A.4 B.-4 C.6 D.-6 解析:(x-)4的二项展开式的第2项为T2=T1+1=x4-1(-)1=-x2=-4x2, 所以第2项的系数为-4. 2.在(-x)4的展开式中,x2的系数为(　B　) A.-1 B.1 C.-4 D.4 解析:(-x)4的展开式的通项为Tr+1=()4-r(-x)r=(-1)r, 令2+=2,则r=0, 故x2的系数为(-1)0=1. 3.已知(x2-)n的展开式中各二项式系数之和为128,则展开式中的常数项为　　　　.  解析:由题意得2n=128,得n=7,所以(x2-)7的展开式的通项为Tr+1=(x2)7-r(-)r=(-1)r. 由14-=0,得r=6,所以展开式的常数项是T7=(-1)6=7. 答案:7 4.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为　　　　.  解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8. 答案:8 二项式定理通项的应用 (a+b)n(n∈N+)型展开式 [例1] (+ax2)6(a∈R)的展开式的常数项为,则展开式中含x3项的系数为(　　) A.- B. C.-或 D.-或 解析:(+ax2)6(a∈R)展开式的通项为Tr+1=()6-r(ax2)r=·arx3r-6,r=0,1,…,6, 令3r-6=0,则r=2,所以展开式的常数项为·a2=,解得a=±. 令3r-6=3,解得r=3,所以展开式中含x3项的系数为·a3=20×()3=或20×(-)3=-.故选C. 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tr+1=an-rbr的理解,一般需要建立方程求r,再将r的值代回通项求解,注意r的取值范围(r=0,1,2,…,n). (1)第m项:此时r+1=m,直接代入通项. (2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 注意:解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件.使用二项展开式的通项时要注意:①通项表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项中a和b的位置不能颠倒. 形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N+)的展开式问题 [例2] (x2+2)(-1)5的展开式的常数项是(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析:(-1)5展开式的通项为 Tr+1=()5-r·(-1)r=·x2r-10·(-1)r. 当2r-10=-2,即r=4时,有x2·x-2·(-1)4=×(-1)4=5; 当2r-10=0,即r=5时, 有2·x0·(-1)5=-2. 因此展开式中的常数项为5-2=3.故选D. 形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N+)的展开式中与特定项相关的量的求解 方法 (1)分别求出(a+b)m,(c+d)n的通项,结合多项式的乘法,综合考虑. (2)观察(a+b)m(c+d)n是否可以合并,若能合并,则合并后求解.如(1+x)5·(1-x)7=[(1+x)(1-x