专题02 相似三角形模型之射影定理-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题02 相似三角形模型之射影定理 射影定理 知识要点：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．（射影定理） 结论：（1）△ACD∽△CBD，△BDC∽△BCA，△CDA∽△BCA （2）△ACD∽△CBD中， （结论1） △BDC∽△BCA中，（结论2） △CDA∽△BCA中，（结论3） （结论1,2,3统称为射影定理） 考向01 结论1的简单运用 例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BD C．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB 变式1-1、已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（　　） A． B． C． D． 变式1-2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为　 　． 变式1-3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝3，CD＝4，则BD的长为　 　． 变式1-4、如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于点F，过点F作FG∥AB交AE于点G． 求证：（1）AE＝BE； （2）AG2＝AF•FC． 考向02 结论1的进阶运用 例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，则DE的长为（　　） A． B． C．4 D．8 变式2-1、如图，在矩形ABCD中，AD＝4AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G，则＝　 　． 考向02 结论2或3的运用 例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　） A． B． C． D．3 变式3-1、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝　 　． 变式3-2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点F在⊙O上． （1）求证：∠ACD＝∠BCO； （2）若OC⊥AF，CD＝BE＝8，求CF的长． 考向04 矩形中射影定理的运用 例4、如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，则＝　 　． 变式4-1、如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　　 ，BE＝　 　． 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形模型之射影定理 射影定理 知识要点：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．（射影定理） 结论：（1）△ACD∽△CBD，△BDC∽△BCA，△CDA∽△BCA （2）△ACD∽△CBD中， （结论1） △BDC∽△BCA中，（结论2） △CDA∽△BCA中，（结论3） （结论1,2,3统称为射影定理） 考向01 结论1的简单运用 例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BD C．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB 【分析】根据同角的余角相等判断A；根据射影定理判断B、D；根据三角形的面积公式判断C． 【解析】∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意； ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意； 由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD， ∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意； ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键． 变式1-1、已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（　　） A． B．