专题01 相似三角形模型之母子型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题01 相似三角形模型之母子型 知识要点：如图，已知∠ACD=∠ABC（母子），则△ACD∽△ABC中， 母子型相似 考向01 求线段的长度 例1、如图，△ABC中，点D在AC边上．若△ABC∽△ADB，AB＝3，AC＝4，则AD的长为　 　． 变式1-1、如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 变式1-2、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，∠ABE＝∠AED，且AB＝6，AC＝9，则CE的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 考向02 判断母子型相似 例2、如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③；④；其中能判断△APC∽△ACB的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 变式2-1、如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（　　）个． ①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD•AB A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2、如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（　　） A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•AC C．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD 考向03 与圆有关的的母子型问题 例3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交弦BC于点E，CD＝4，DE＝2，则AE的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 变式3-1、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝4，ED＝4，则AB的长为（　　） A．4 B． C． D． 变式3-2、如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 变式3-3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为　 　． 考向04 与特殊平行四边形有关的母子型问题 例4、如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，则BC的长是（　　） A． B． C．6 D． 变式4-1、如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E，F是BC延长线上一点，且CF＝CE，BE延长线交DF于G，则BG•EG的值是　 　． ​ 考向05 折叠问题中的母子型相似模型 变式5、如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝　 　． 变式5-1、如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝　 　度；的值等于　 　． 考向06 新定义问题中的母子型相似模型 例6、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数． （2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系． 变式6-1、定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”． （1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，请直接写出CD的长. 考向07 与母子型相似模型有关的多选题 例7、如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交于E，AF⊥BD于点F，延长AF交BC于点G，交⊙O于点H，下列结论： ①∠C＝∠BAH； ②BG：GC＝GH：AG； ③AF2＝BF•FD； ④AB2＝BG•BC， 正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 变式7-1、如图，已知菱形ABCD的边