主题三 第七章 第5节 空间向量及空间位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，人教B版）

第5节　空间向量及空间位置关系 [课程标准要求] 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 1 名称 概念 表示 零向量 始点和终点相同的向量 0 单位向量 模等于 的向量 相等向量 方向 且大小 的向量 . 相反向量 方向 且大小 的向量 a的相反 向量-a 共线向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行,两个向量平行也称为两个向量共线 . 共面向量 空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移后,都能在同一平面内,则称这些向量共面 相同 相等 相反 相等 a=b a∥b (2)空间向量中的有关结论 ①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb. ②如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量p,存在唯一实数对(x,y),使得p=xa+yb. ③空间向量基本定理:如果空间中三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间向量的一组 . 2.空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积 ①a·b= ; ②a⊥b⇔ ; 基底 |a||b|cos<a,b> a·b=0 ③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|= . (2)空间向量的坐标运算 a1b1+a2b2+a3b3 a1b1+a2b2+a3b3=0 3.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量与平面的法向量 直线的 方向向量 如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l ,则称v为直线l的一个方向向量 平面的 法向量 如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α ,则称n为平面α的一个法向量 平行或重合 垂直 (2)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1= λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 1.空间向量基本定理的三点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量. (3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. 1.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中能构成空间的基底的一组向量是(　 　) A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b} C D 3.已知向量a=(0,-1,1)与b=(0,k-2,k2)共线,则实数k等于(　 　) A.0 B.1 C.-1或2 D.-2或1 D 4.(多选题)已知向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),则以下说法正确的是(　 　) ABD 答案:∈ 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 空间向量的线性运算 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. [针对训练] 共线向量、共面向量的应用 (1)利用共线向量定理可以证明直线的平行与三点共线问题. (2)利用共面向量定理可以判定空间四点是否共面以及证明线面平行问题. [针对训练] 1.已知空间四个点A(-3,x,3),B(-2,-1,4),C(0,3,0),D(1,1,1)在同一个平面内,则实数x等于(　　) A.1 B.-2 C.0 D.-1 2.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)(m,n∈R)三点共线,则m+n=