主题二 第三章 培优课(二) 隐零点与极值点偏移问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

培优课(二)　隐零点与极值点偏移问题 [知识解读] 1.隐零点 利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,按导函数零点能否求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧,对学生综合能力的要求较高,成为考查的难点. 2.极值点“偏移”图示 (1)极值点不偏移 已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0,若f(x)=c的两根的中点刚好满足=x0,即极值点在两根的正中间,也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x=x0两侧,函数值变化快慢相同,如图(1). (无偏移,左右对称,二次函数)若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0. (2)极值点偏移 若≠x0,则极值点偏移,此时函数f(x)在x=x0两侧,函数值变化快慢不同,如图(2)(3). (左陡右缓,极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2x0; (左缓右陡,极值点向右偏移)若f(x1)=f(x2),则x1+x2<2x0. (3)极值点偏移问题的一般题设形式 ①若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点); ②若函数f(x)存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点); ③若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,令x0=,求证:f′(x0)>0; ④若函数f(x)存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2),令x0=,求证: f′(x0)>0. (4)极值点偏移问题的常见解法 ①(对称化构造法)构造辅助函数:对结论x1+x2>(<)2x0型,构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x);对结论x1x2>(<)型,构造函数F(x)=f(x)-f(),通过研究F(x)的单调性获得不等式. ②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t=化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明. 隐零点问题 函数最值中的“隐零点” [典例1] 已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=2时,设函数g(x)=f(x)+ln x-x-b,b∈Z,若g(x)≤0对任意的x∈(,1)恒成立,求b的最小值. 解:(1)由题意,函数f(x)=(x-a)ex(a∈R), 可得f′(x)=(x-a+1)ex, 当x∈(-∞,a-1)时,f′(x)<0; 当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)>0, 故函数f(x)在(-∞,a-1)上单调递减, 在(a-1,+∞)上单调递增. (2)g(x)=f(x)+ln x-x-b=(x-2)ex+ln x-x-b(b∈Z), 因为g(x)≤0对任意的x∈(,1)恒成立. 即b≥(x-2)ex+ln x-x对任意的x∈(,1)恒成立, 令函数h(x)=(x-2)ex+ln x-x, 则h′(x)=(x-1)ex+-1=(x-1)(ex-), 因为x∈(,1),所以x-1<0. 再令函数t(x)=ex-, 可得t′(x)=ex+>0, 所以函数t(x)单调递增. 因为t()=-2<0,t(1)=e-1>0, 所以一定存在唯一的x0∈(,1), 使得t(x0)=0, 即=, 即x0=-ln x0, 所以h(x)在(,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减, 所以h(x)max=h(x0)=(x0-2)+ln x0-x0=1-2(x0+)∈(-4,-3). 因为b∈Z,所以b的最小值为-3. 零点问题求解“三步曲” (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程f′(x0)=0,并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围. (2)以零点为分界点,说明导函数f′(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式. (3)将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简证明,有时(1)中的零点范围还可以适当缩小. 注意:当题设条件中出现“参数为整数”(如本题“b∈Z”)时,此类问题一般为隐零点的卡点问题,要利用零点存在定理,把隐零点的范围精准地找出来,才能正确求出参数的值. [拓展演练] 设函数f(x)=e2x-aln x(a为大于零的常数),已知f′(x)=0有唯一零点,求f(x)的最小值. 解:f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=2e2x-(x>0). 当a>0时,设u(x)=e2x,v(x)=-, 因为u(x)=e2x在(0,+∞)上单调递增, v(x)=-在(0,+∞)上单调递增, 所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增. 设f′(