主题二 第三章 第6节 利用导数研究函数零点-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第6节　利用导数研究函数零点 判断、证明零点的个数 [例1] (2022·山东日照三模)已知函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x(a∈R). (1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间; (2)当a<e时,讨论f(x)的零点个数. 解:(1)当a=-1时,f(x)=(x-2)ex+x-ln x, 则f′(x)=(x-1)(ex+), 当x∈(0,+∞)时,ex+>0恒成立, 所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 即f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞). (2)由题意,函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x=(x-2)ex-a(x-ln x),x>0, 设m(x)=x-ln x,x>0, 则m′(x)=1-=, 当x∈(0,1)时,m′(x)<0,m(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,m′(x)>0,m(x)单调递增, 又由m(1)=1,所以m(x)≥1, 令f(x)=0,可得(x-2)ex-ax+aln x=0, 所以a=,其中x>0, 令g(x)=, 可得g′(x)=(x-ln x+-1), 令h(x)=x-ln x+-1,则h′(x)=1--==(x>0), 可得0<x<2时,h′(x)<0,h(x)单调递减; x>2时,h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(2)=2-ln 2>0, 即x>0时,h(x)>0恒成立, 故0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减; x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以g(x)min=g(1)=-e. 又由x→0时,g(x)→0, 当x→+∞时,g(x)→+∞, 函数g(x)的图象,如图所示, 结合图象可得, 当a<-e时,无零点;当a=-e或0≤a<e时,一个零点;当-e<a<0时,两个零点. 利用导数求函数的零点常用方法 (1)构造函数g(x),利用导数研究g(x)的性质,结合g(x)的图象,判断函数零点的个数. (2)利用零点存在定理,先判断函数在某区间有零点,再结合图象与性质确定函数有多少个零点. [针对训练] (2022·河北唐山二模)已知函数f(x)=,g(x)=bsin x,曲线y=f(x)和y=g(x)在原点处有相同的切线l. (1)求b的值以及l的方程; (2)判断函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上零点的个数,并说明理由. 解:(1)依题意得f′(x)=, g′(x)=bcos x, 所以f′(0)=g′(0)=b=1, 所以l的方程为y=x. (2)当x>时,=3->1≥sin x, 即h(x)>0,此时h(x)无零点. 当0<x<时,h′(x)=-cos x, 令H(x)=-cos x,x∈(0,), 则H′(x)=-+sin x, 显然H′(x)在(0,)上单调递增, 又H′(0)=-<0,H′()>0, 所以存在t∈(0,)使得H′(t)=0, 因此可得0<x<t时,H′(x)<0,H(x)单调递减; t<x<时,H′(x)>0,H(x)单调递增. 又H(0)=0,H()>0, 所以存在λ∈(t,),使得H(λ)=0, 即0<x<λ时,H(x)<0,h′(x)<0,h(x)单调递减; λ<x<时,H(x)>0,h′(x)>0,h(x)单调递增. 又h(0)=0,h()>0,所以h(x)在(0,)上有1个零点. 综上,h(x)在(0,+∞)上有1个零点. 根据零点情况求参数范围 [例2] (2022·全国乙卷)已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x. (1)当a=0时,求f(x)的最大值; (2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围. 解:(1)当a=0时,f(x)=--ln x(x>0), 所以f′(x)=-=. 若x∈(0,1),f′(x)>0,f(x)单调递增; 若x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以f(x)max=f(1)=-1. (2)由f(x)=ax--(a+1)ln x(x>0), 得f′(x)=a+-=(x>0). 当a=0时,由(1)可知,f(x)不存在零点; 当a<0时,f′(x)=, 若x∈(0,1),f′(x)>0,f(x)单调递增, 若x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以f(x)max=f(1)=a-1<0, 所以f(x)不存在零点; 当a>0时,f′(x)=, 若a=1,f′(x)≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为f(1)=a-1=0,所以函数f(x)恰有一个零点,所以a=1满足条件, 若a>1,f(x)在(0,),(1,+∞)上单调递增, 在(,1)上单调递减, 因为f(1)=a-1>