主题二 第三章 第5节 利用导数证明不等式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第5节　利用导数证明不等式 构造函数证明不等式 [例1] 已知函数f(x)=ex+exln x(其中e是自然对数的底数). (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求证:f(x)≥ex2. (1)解:因为函数f(x)=ex+exln x, 所以f′(x)=ex+e(1+ln x),f(1)=e, 所以f′(1)=2e, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e. (2)证明:要证f(x)≥ex2,即证ex+exln x≥ex2,即证+ln x-x≥0, 构造函数G(x)=+ln x-x, 则G′(x)=+-1= =. 令H(x)=ex-1-x,则H′(x)=ex-1-1, 当x>1时,H′(x)>0,H(x)单调递增; 当0<x<1时,H′(x)<0,H(x)单调递减. 所以H(x)≥H(1)=0. 于是当0<x<1时,G′(x)<0,G(x)单调递减; 当x>1时,G′(x)>0,H(x)单调递增. 于是G(x)≥G(1)=0, 命题得证. 证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以通过构造函数F(x)=f(x)-g(x).将问题转化为证明函数F(x)在x∈(a,b)上的最小值大于0,即证明了f(x)>g(x). [针对训练] (2022·河南郑州二模)已知函数f(x)=e·ex-+1,g(x)=+2. (1)求函数g(x)的极值; (2)当x>0时,证明:f(x)≥g(x). (1)解:g(x)=+2, 定义域为(0,+∞),g′(x)=, 当x∈(0,e)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减, 故函数g(x)的极大值为g(e)=+2,无极小值. (2)证明:要证f(x)≥g(x)等价证明x-2≥ln x+x,即证xex+1-ln x-x-2≥0, 令h(x)=xex+1-ln x-x-2(x>0), h′(x)=(x+1)ex+1-=(x+1)(ex+1-), 令(x)=ex+1-,则(x)在(0,+∞)上单调递增,而()=-10<e2-10<0,(1)=e2-1>0, 故(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x0,且x0∈(,1),x∈(0,x0)时,(x)<0,h′(x)<0,h(x)在(0,x0)上单调递减, x∈(x0,+∞)时,(x)>0,h′(x)>0,h(x)在(x0,+∞)上单调递增, 故h(x)min=h(x0)=x0-ln x0-x0-2, 又因为(x0)=0,即=, 所以h(x0)=-ln x0-x0-1=(x0+1)-x0-1=0,从而h(x)≥h(x0)=0,即f(x)≥g(x). 转化为两个函数的最值比较(凹凸翻转) [例2] (2022·河南郑州模拟)设函数f(x)=ln(a-x)-x+e. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=e时,证明:f(e-x)<ex+. (1)解:函数f(x)的定义域为{x|x<a}, f′(x)=-1=, 因为x<a,所以f′(x)<0. 故函数f(x)的单调递减区间为(-∞,a),无单调递增区间. (2)证明:当a=e时,要证f(e-x)<ex+, 即证ln x+x<ex+,即证+1<+. 设g(x)=+1(x>0),g′(x)=, 所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(e)=+1. 设h(x)=+,h′(x)=, 所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=e+, 又+1<e+, 所以当a=e时,f(e-x)<ex+. 若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.此类问题经变形转化后,不等式左右两边的函数图象一般具有相反的凹凸性,利用f(x)min≥g(x)max解决. [针对训练] 已知函数f(x)=2xex+ax(a∈R),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x. (1)求实数a; (2)求证:f(x)>ln x+1. (1)解:f′(x)=2(x+1)ex+a, 所以f′(0)=2×(0+1)e0+a=1,解得a=-1. (2)证明:由(1)知f(x)=2xex-x, 因为x>0,所以要证明f(x)>ln x+1, 只需证明2ex-1>, 令g(x)=,则g′(x)=-,g′(1)=0, 所以x∈(0,1),g′(x)>0,g(x)单调递增, x∈(1,+∞),g′(x)<0,g(x)单调递减. 所以g(x)max=g(1)=1, 令h(x)=2ex-1,h(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以h(x)min>2e0-1=1, 所以h(x)min