主题二 第三章 第4节 利用导数研究恒(能)成立问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　利用导数研究恒(能)成立问题 分离参数法解决不等式恒(能)成立问题 [例1] 已知函数f(x)=ex+1-ax-a-1. (1)讨论f(x)的极值; (2)设a=1,若关于x的不等式f(x-1)≥bx3-x2在区间(0,+∞)内恒成立,求实数b的取值范围. 解:(1)因为f(x)=ex+1-ax-a-1, 所以f′(x)=ex+1-a, 当a≤0时,f′(x)>0恒成立,则函数f(x)在R上单调递增,此时无极值, 当a>0时,由f′(x)≥0得x≥ln a-1, 由f′(x)<0得x<ln a-1, 所以函数f(x)在(-∞,ln a-1]上单调递减,在[ln a-1,+∞)上单调递增, 所以当x=ln a-1时,函数f(x)有极小值 f(ln a-1)=a-a(ln a-1)-a-1=a-aln a-1. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值, 当a>0时,函数f(x)在x=ln a-1处取得极小值f(ln a-1)=a-aln a-1,无极大值. (2)当a=1时,f(x)=ex+1-x-2,则f(x-1)=ex-x-1, 因为f(x-1)≥bx3-x2,即ex-x-1≥bx3-x2, 因为x>0, 所以b≤, 令g(x)=, 则g′(x)=, 令h(x)=ex-x-1, 则h′(x)=ex-1>0在(0,+∞)上恒成立, 所以h(x)>h(0)=0, 由g′(x)≥0得x≥3, 由g′(x)<0得x<3, 所以函数g(x)在(0,3]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,当x=3时,函数g(x)有最小值g(x)min=g(3)=, 所以b≤, 所以实数b的取值范围是(-∞,]. 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max; a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min; a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min; a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. [针对训练] 已知函数f(x)=ex-f(0)x,若存在实数x0使不等式2a-1-≥f(x0)成立,则a的取值范围为(　　) A.[1,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,2] D.[0,+∞) 解析:令x=0得f(0)=1,所以f(x)=ex-x, 将2a-1-≥f(x0)化简得2a-1≥-x0+, 令g(x)=ex-x+,则g′(x)=ex-1+x, 令h(x)=g′(x)=ex-1+x, 因为h′(x)=ex+1>0,所以g′(x)为增函数, 当x>0时,g′(x)>g′(0)=0,g(x)为增函数,g(x)>g(0)=1; 当x<0时,g′(x)<g′(0)=0,g(x)为减函数,g(x)>g(0)=1, 因此g(x)最小值为1,从而2a-1≥1,即a≥1. 故选A. 最值转化法求不等式恒(能)成立问题 [例2] 已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+ln x,a∈R. (1)求函数y=g(x)的单调区间; (2)若不等式f(x)≥g(x)+1在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)因为g(x)=ax+ln x,a∈R,x>0, 所以g′(x)=a+=, 当a≥0时,增区间为(0,+∞),无减区间; 当a<0时,增区间为(0,-),减区间为(-,+∞). (2)f(x)≥g(x)+1, 即ex-1-ln x+a-ax-1≥0在[1,+∞)上恒成立, 设F(x)=ex-1-ln x+a-ax-1,考虑到F(1)=0, F′(x)=ex-1--a在[1,+∞)上为增函数. 因为x≥1,ex-1-≥0, 所以当a≤0时,F′(x)≥0,F(x)在[1,+∞)上为增函数,F(x)≥0恒成立. 当a>0时,F′(1)<0,F′(x)在[1,+∞)上为增函数,∃x0∈(1,+∞),在(1,x0)上,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)<0,这时不合题意. 综上所述,a≤0,即a的取值范围为(-∞,0]. 根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题,一般需讨论参数范围,借助函数单调性求解. [针对训练] (2022·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性﹔ (2)若存在x∈(1,+∞),f(x)>-a,求a的取值范围. 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=-2ax+=, 当a≤0时,f′(x)>0, 则f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,由f′(x)=0,得x=, 由f′(x)>0,得x∈(0,), 由f′(x)<0,得x∈(,+∞), 于是有f(x)在(0,)上单调递增, 在(,+∞)上单调递减. (2)由f(x)>-a, 得a(x2-1)