主题二 第三章 第3节 导数与函数的极值、最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　导数与函数的极值、最值 [课程标准要求] 1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 1.导数与函数的极值 (1)极值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有 ①f(x)<f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值. ②f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值. 极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值. 极值点满足的两个条件:极值点处的导数等于零,并且两侧导数的符号相反. (2)求极值的方法 一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值: 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时: ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值. 对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,其导数f′(0)=0,但是x=0却不是其极值点. 2.导数与函数的最值 一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在最值,函数y=f(x) 在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点. (1)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. (2)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值. 1.(多选题)已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　AC　) A.f(x)在x=-4时取极小值 B.f(x)在x=-2时取极大值 C.1.5是f(x)的极小值点 D.3是f(x)的极小值点 解析:由导函数f′(x)的图象可得,当x=-4时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以f(x)在x=-4时取极小值,所以A正确;当x=1.5时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两边的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误. 2.函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是(　B　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.(-,) D.[-,] 解析:f′(x)=3x2-2ax+2, 由题意知f′(x)有变号零点, 所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0, 解得a>或a<-. 3.(多选题)(2022·山东青岛月考)已知f(x)=,则f(x)(　BC　) A.在(-∞,+∞)上单调递减 B.在(-∞,1)上单调递增 C.有极大值,无极小值 D.有极小值,无极大值 解析:由题意知f′(x)=,当x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(1)是函数的极大值,也是最大值,f(1)=,函数无极小值. 4.(2023·湖南长沙模拟)函数f(x)=ln(x+1)-的最大值为　　　　.  解析:因为f(x)=ln(x+1)-, 所以f′(x)=-=,x≥0, 所以f′(x)=≤0, 所以f(x)单调递减,f(x)的最大值为f(0)=0. 答案:0 5.已知函数f(x)=x3+x2-2x+1,若函数f(x)在(2a-2,2a+3)上存在最小值,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:f(x)=x3+x2-2x+1, f′(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1), 当-2<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x<-2或x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,在x=-2处取得极大值. 令f(x)=f(1), 解得x=1或x=-, 又因为函数f(x)在(2a-2,2a+3)上存在最小值,且(2a-2,2a+3)为开区间, 所以-≤2a-2<1<2a+3, 解得-≤a<, 即a的取值范围是[-,). 答案:[-,) 利用导数研究函数的极值 根据函数图象判断函数极值 [例1] (多选题)(2022·山东潍坊二模)定义在区间[-,4]上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增 B.函数f(x)在区间(-,0)上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极小值 解析:根据