主题二 第三章 第2节 导数与函数的单调性-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　导数与函数的单调性 [课程标准要求] 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a,b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a,b)上单调递减 f′(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是常数函数 函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,但是其导数f′(x)=3x2≥0. 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f′(x)的零点; 第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 1.(多选题)如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是(　BC　) A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增 B.在区间(2,3)上f(x)单调递减 C.在区间(4,5)上f(x)单调递增 D.在区间(3,5)上f(x)单调递减 解析:在区间(-2,1)上,当x∈(-2,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,1)时, f′(x)>0,故f(x)在(-2,-)上单调递减,在(-,1)上单调递增,A错误;在区间(3,5)上,当x∈(3,4)时,f′(x)<0,当x∈(4,5)时,f′(x)>0,即f(x)在(3,4)上单调递减,在(4,5)上单调递增,D错误.在(4,5)上 f′(x)>0,所以f(x)单调递增.在(2,3)上f′(x)<0,所以f(x)单调递减,故B,C正确. 2.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间为(　B　) A.(-1,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,2) 解析:f(x)的定义域为(0,+∞),解不等式 f′(x)=x-=<0,可得0<x<1, 故函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间为(0,1). 3.若函数f(x)=x3+x2+ax-1是R上的单调函数,则实数a的取值范围是(　A　) A.a≥ B.a≤ C.a> D.a< 解析:f′(x)=3x2+2x+a≥0恒成立,即Δ=4-12a≤0,解得a≥. 4.若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间(,2)内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是(　D　) A.(-∞,2] B.(-,+∞) C.(-2,-) D.(-2,+∞) 解析:因为函数f(x)=ln x+ax2-2在区间(,2)内存在单调递增区间,所以f′(x)=+2ax>0在区间(,2)上有解(成立), 即2a>(-)min在区间(,2)上成立, 又函数y=x2在(,2)上单调递增, 所以函数y=-在(,2)上单调递增, 故当x=时,y=-取最小值, 即(-)min=-4, 即2a>-4,得a>-2. 5.若函数f(x)=x3-x2+ax+4的单调递减区间为[-1,4],则实数a的值为　　　　.  解析:由题意,得f′(x)=x2-3x+a, 又f(x)的单调递减区间为[-1,4], 所以f′(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4], 所以-1,4是方程f′(x)=0的两根, 则a=(-1)×4=-4. 答案:-4 不含参数的函数的单调性 1.已知函数f(x)满足f(x)=f′(2)ex-2-f(0)x+x2,则f(x)的单调递减区间为(　A　) A.(-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,+∞) 解析:由题设f′(x)=f′(2)ex-2-f(0)+x, 则f′(2)=f′(2)-f(0)+2,可得f(0)=2, 即f(0)=f′(2)e-2=2,则f′(2)=2e2, 所以f(x)=2ex-2x+x2, 得f′(x)=2ex-2+x, 则f′(0)=0且f′(x)单调递增, 当x<0时,f′(x)<0,即f(x)单调递减, 故f(x)单调递减区间为(-∞,0). 2.(多选题)下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(　AB　) A.f(x)=x2- B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x 解析:对于A,f′(x)=2x+>0在(0,+∞)上恒成立,因此函数是增函数,故A正确; 对于B,函数f(x)=xex的导函数f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数,故B正确; 对于C,f′(x)