主题二 第三章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第三章　导数及其应用 第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 [课程标准要求] 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数,会使用导数公式表. 1.导数及其几何意义 (1)瞬时变化率与导数的定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限趋近于0时,若平均变化率=无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作 f′(x0)=k.“当Δx无限接近于0时,无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时,→k,或者写成=k,即f′(x0)=. (1)定义的变化形式:f′(x0)=. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. (2)导数的几何意义:f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,即k=f′(x0)=.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条. 2.导函数 一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导,则称f(x)可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f′(x).于是,在f(x)的定义域内,f′(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作f′(x)(或y′,yx′),即f′(x)=y′=yx′= .导函数通常也简称为导数. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ln x f′(x)= f(x)=loga x(a>0,且a≠1) f′(x)= 函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数. 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[]′=(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论: (1)()′=-; (2)()′=; (3)[]′=-(f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 1.下列结论正确的是(　B　) A.若y=cos ,则y′=-sin B.若y=sin x2,则y′=2xcos x2 C.若y=cos 5x,则y′=-sin 5x D.若y=xsin 2x,则y′=xsin 2x 解析:对于A,y=cos ,则y′=sin ,故错误;对于B,y=sin x2,则y′=2xcos x2,故正确;对于C,y=cos 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;对于D,y=xsin 2x,则y′=sin 2x+xcos 2x,故错误. 2.设f(x)为可导函数,且=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为(　D　) A.2 B.-1 C.1 D.- 解析:由导数的几何意义,点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1),因为Δx→0时,→-1,所以f′(1)== =-,所以在点(1,f(1))处的切线斜率为-. 3.若函数f(x)=ln(2x-1),则f′(2)=　　　　.  解析:f′(x)=,因此f′(2)==. 答案: 4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a