主题二 第二章 培优课(一) 抽象函数的性质-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

培优课(一)　抽象函数的性质 我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用y=f(x)表示,抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载体. 抽象函数问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛.因此,我们应该掌握简单常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型,及其应用问题的基本方法.借助特殊函数模型有利于打开解题思路,有时会起到事半功倍的效果. 常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型: 抽象函数f(x)具有的性质 特殊函数模型 f(x+y)=f(x)+f(y) 正比例函数f(x)=kx(k≠0) f(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=x2 f(x+y)=f(x)f(y) f(x-y)=f(x)÷f(y) 指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(xy)=f(x)+f(y) f()=f(x)-f(y) 对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y) 正弦函数f(x)=sin x f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y) 余弦函数f(x)=cos x f(x±y)= 正切函数f(x)=tan x 抽象函数求值 [典例1] (1)设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),若f(8)=3,则f()=　　　　.  (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x+y)=f(x)+f(y)+1,则f(4)=　　　　.  解析:(1)因为f(8)=3,所以f(2×4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2×2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3,所以f(2)=1. 因为f(2)=f(×)=f()+f()=2f(),所以2f()=1, 所以f()=. (2)令x=y=1, 则f(2)=f(1)+f(1)+1=3. 令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)+1=7. 答案:(1)　(2)7 抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=…,-2,-1,0,1,2…等特殊值求抽象函数的函数值. [拓展演练] 1.已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且x,y∈R,则f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)等于(　　) A.0 B.1 C. D.5 解析:因为函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且x,y∈R, 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1), 所以f(1)=0. 令y=,则f(1)=f(x)+f()=0, 所以f()+f(3)=0,且f()+f(2)=0, 所以f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)=0.故选A. 2.已知定义在R上的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,则f(0)+f(2)等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因为∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2, 令x=0,y=1,则有f(1)=f(1)f(0), 又f(1)=2,则f(0)=1, 令x=y=1,则有f(2)=f(1)f(1)=2×2=4, 所以f(0)+f(2)=5.故选B. 抽象函数的单调性与抽象不等式 [典例2] (2023·广西模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数; (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 解:(1)令x=y=0,得f(0)=-1. 在R上任取x1>x2, 则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1. 又f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2), 所以函数f(x)在R上是增函数. (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4, 得f(x2+2x)+f(1-x)+1>5, 即f(x2+x+1)>f(3), 又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3, 解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}. (1)抽象函数的单调性的证明,关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出一个大于(或小于)0的数. (2)在解决与抽象函数有关的不等式问题时,可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行;若不等式一边没有“f”,而是常数,则应将常数转化为函数值. [拓展演练] 已知f(x)是定义在区间(0