主题二 第二章 第9节 函数模型及其应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第9节　函数模型及其应用 [课程标准要求] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义. 1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 对数函数型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 幂函数型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 2.三种函数模型性质的比较 性质 函数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>1) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大 逐渐表现为 与y轴平行 随x的增大 逐渐表现为 与x轴平行 随n值变 化而各 有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时, 有logax<xn<ax 1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. 2.函数f(x)=x+(a>0)的性质及最值: (1)该函数在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减. (2)当x>0时,x= 时取最小值2, 当x<0时,x=- 时取最大值-2. 1.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　C　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 解析:由题意知4.9=5+lg V,得lg V=-0.1,得V=1≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 2.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据: x -2 -1 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　D　) A.y=a+bx B.y=a+ C.y=a+logbx D.y=a+bx 解析: 在平面直角坐标系中画出(x,y)表示的点,根据点的特征可知,当自变量每增加1时,y的增加是不相同的,所以不是线性增加,排除A;由图象不具有反比例函数特征,排除B;因为自变量有负值,排除C;当自变量增加到3时,y增加很多,所以符合指数函数的增加特征,D正确. 3.(2022·北京一模)大气压强p=,大气压强p(单位:Pa)随海拔高度h(单位:m)的变化规律是p=p0e-kh(k=0.000 126 m-1),p0是海平面大气压强.已知在某高山A1,A2两处测得的大气压强分别为p1,p2,=.那么A1,A2两处的海拔高度的差约为(参考数据:ln 2≈0.693)(　C　) A.550 m B.1 818 m C.5 500 m D.8 732 m 解析:====,故h1-h2=≈=5 500 m. 4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为　　　　 m3.  解析:设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y= 则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13. 答案:13 5.某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,日均销售量y(单位:桶)与销售单价x(单位:元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使利润最大,销售单价应定为　　　　元.  解析:由题意得该桶装水经营部每日利润为W(x)=(-30x+450)(x-5)-420,整理得W(x)=-30x2+600x-2 670=-30(x2-20x)-2 670=-30(x-10)2+330,则当x=10时,利润最大. 答案:10 利用函数图象刻画实际问题 1.某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图