主题二 第二章 第8节 函数与方程-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第8节　函数与方程 [课程标准要求] 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解的步骤. 1.函数的零点 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点,α是函数 f(x) 零点的充分必要条件是,(α,0)是函数图象与x轴的公共点. 函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且有f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即∃x0∈(a,b),使得f(x0)=0. 函数f(x)在(a,b)上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点. 3.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定近似的精度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点; ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c; ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c. (4)判断是否达到近似的精度ε:若|a-b|<ε,则得到零点的近似值a(或b);否则重复步骤(2)～(4). 用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号. 4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)的 图象 与x轴的 交点 (x1,0), (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 1.函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为(　B　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 2.(2022·湖北武汉期末)函数f(x)=3x+x-2的零点所在的一个区间是(　A　) A.(0,1) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-1,0) 解析:f(0)=-1,f(1)=2,故f(0)f(1)<0,由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0,1). 3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　D　) A.2 B.-2,0 C. D.0 解析:当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=(舍去).综上,函数的零点为0. 4.(2022·北京大兴区三模)已知a>0,若函数f(x)=有两个不同的零点,则a的取值范围是(　A　) A.(0,) B.(0,1) C.(,+∞) D.[1,+∞) 解析:x+a=0,x=-a<a, 则x=-a是函数f(x)的一个零点, 由ln x+2=0,解得x=, 要使得f(x)有两个不同的零点,则a∈(0,). 5.函数f(x)=x·2x-kx-2在区间(1,2)内有零点,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:令f(x)=0,所以x·2x-kx-2=0, 即k=2x-, 即y=k与(x)=2x-,x∈(1,2)的图象有交点, 又(x)=2x-在(1,2)上单调递增, 且(1)=0,(2)=3, 所以0<k<3. 答案:(0,3) 函数零点存在定理的应用 1.(2022·天津一模)函数f(x)=ex+2x-6的零点所在的区间是(　C