主题二 第二章 第5节 指数与指数函数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第5节　指数与指数函数 [课程标准要求] 1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.根式 一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根 (1)0的任意正整数次方根均为0,记作 =0. (2)正数a的偶数次方根有两个,它们互为相反数,其中正的方根称为a的n次算术根,记为 ;负的方根记为-;负数的偶数次方根在实数范围内不存在,即当a<0且n为偶数时,在实数范围内没有意义. (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个正数,负数的奇数次方根是一个负数 当有意义的时候,称为根式,n称为根指数,a称为被开方数 当n为任意正整数时,()n=a 当n为奇数时,=a 当n为偶数时,=|a|= 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂:= a>0,m,n∈N*, n>1 负分数指数幂:== 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 at·as=at+s a>0, b>0, t,s∈Q (as)t=ast (ab)s=asbs 有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算. 3.指数函数的概念、图象与性质 函数 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 图象特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 单调递减 单调递增 函数变 化规律 当x=0时,y=1 当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1 形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数. 1.指数函数图象的对称规律 函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高. 1.(多选题)设a∈R,n,m∈N*,且n≥2,则下列等式一定正确的是(　AD　) A.am·an=am+n B.(an)m=am+n C.=a D.()n=a 解析:由指数幂的运算公式可得am·an=am+n,(an)m=amn,()n=a,所以A,D正确,B错误;对于C,当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|,所以C错误. 2.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(　A　) 解析:易知f(x)为偶函数,且f(x)=1-e|x|≤0,A正确. 3.函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(　B　) A.(-1,-1) B.(-1,1) C.(0,2a-1) D.(0,1) 解析:令x+1=0,解得x=-1,且f(-1)=1,故函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(-1,1). 4.(2022·重庆月考)计算:(×(-)0+×-=　　　　.  解析:原式=(×1+×-(=2. 答案:2 指数幂的运算 1.当a>0时,等于(　C　) A.x B.x C.-x D.-x 解析:由成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,因此==·=·|x|=-x. 2.化简÷(的值为　　　　.  解析:原式=÷( =÷( =÷( =÷(ab)= =. 答案: 3.计算:(-+0.00-10(-2)-1+π0=　　　　.  解析:原式=(-)-2+50-+1=+10-10-20+1=-. 答案:- (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 指数函数的图象及应用 [例1] 已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求实数a,b的取值范围; (2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的取值范围. 解:(1