主题二 第二章 第4节 幂函数与二次函数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　幂函数与二次函数 [课程标准要求] 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象与性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),图象的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,) 顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),图象的对称轴是x=m,顶点坐标是(m,n) 零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图象的对称轴是x= (2)二次函数的图象与性质 函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 对称轴 x=- 顶点 坐标 (-,) 奇偶性 当b=0时,是偶函数, 当b≠0时,是非奇非偶函数 单调性 在(-∞,-]上是减函数,在[-,+∞)上是增函数 在(-∞,-]上是增函数,在[-,+∞)上是减函数 1.(多选题)下列关于幂函数图象和性质的描述中,正确的是(　AB　) A.幂函数的图象都过点(1,1) B.幂函数的图象都不经过第四象限 C.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种 D.幂函数必定是增函数或减函数中的一种 解析:因为1α=1,所以幂函数的图象都经过点(1,1),故A正确;当x>0时,xα>0,幂函数的图象都不经过第四象限,故B正确;y=的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,故C错误;y=在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,但在定义域内不是减函数,故D错误. 2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限内的图象,则a,b,c的大小关系为(　D　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b 解析:令x=2,结合图象有2a<2c<2b, 所以a<c<b. 3.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、第三、第四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象可能是(　C　) 解析:因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、第三、第四象限, 所以a<0,b<0, 所以二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴x=-<0,且过原点,所以A,B,D不正确. 4.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为　　　　.  解析:由题意,得≥20或≤5, 解得k≥160或k≤40. 答案:(-∞,40]∪[160,+∞) 5.(2022·浙江杭州联考)已知函数f(x)=x2-2ax+b(a>1)的定义域和值域都为[1,a],则b=　　　　.  解析:因为f(x)=x2-2ax+b的图象关于直线x=a对称, 所以f(x)在[1,a]上为减函数, 又f(x)的值域为[1,a], 所以 解得a=2或a=1(舍去), 所以b=5. 答案:5 幂函数的图象与性质 1.(2022·河南郑州调研)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是(　C　) 解析:设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=,所以y=,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,C正确. 2.已知a=,b=,c=2,则(　A　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 解析:由题意得b=<==a, a==<4<5=2=c,所以b<a<c. 3.(2022·湖南长沙质检)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m=　　　　.  解析:由幂函数定义,知m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x的图象不关于y轴对称,舍去,当m=2时,f(x)=x2的图象关于y轴对称,因此m=2. 答案:2 4.若(a+