主题二 第二章 第2节 函数的单调性与最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　函数的单调性与最值 [课程标准要求] 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 1.增、减函数的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D: (1)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增),如图(1)所示; (2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减),如图(2)所示. 两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). (1)函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2∈D”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1<x2;三是同属一个单调区间,三者缺一不可. (2)若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”. 2.函数的最值 一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),则称f(x)的最大值为 f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最小值为 f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点. (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 1.函数单调性的等价定义 设任意x1,x2∈I(x1≠x2),则 (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增. (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减. 2.函数f(x)=ax+的单调性 若a>0,b<0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是增函数,若a<0,b>0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;若a>0,b>0,则函数在区间(-,0),(0,)上是减函数,在区间(-∞,-),(,+∞)上是增函数. 特别地,“对勾函数”y=x+(a>0)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞);单调递减区间是[-,0),(0,]. 3.与函数运算有关的单调性结论 (1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性. (4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数. (5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减. (6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 1.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　) A.f(x)=-x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析:法一(排除法)　取x1=-1,x2=0,对于A项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以A项不符合题意;对于B项有f(x1)=,f(x2)=1,所以B项不符合题意;对于C项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以C项不符合题意.故选D. 法二(图象法)　如图,在平面直角坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项中函数的大致图象,即可快速直观判断D项符合题意. 2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),则a的取值范围是(　B　) A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0) D.(2,+∞) 解析:因为f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),所以a2-a>a,所以a2-2a>0,所以a>2或a<0.故选B. 3.(多选题)下列结论正确的有(　BD　) A.函数y=的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞) B.函数y=-x在区间(0,+∞)上单调递减 C.若y=f(x)在区间I上单调递增,则函数y=kf(x)(k<0),y=在区间I上都单调递减 D.若函数y=f(x)满足∀x1,x2∈I,x1≠x2,>0(<0),能判定f(x)在区间I上的单调性 解析:对于A,单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间应为(-∞,0)和(0,+∞),错误; 对于B,y=-x在(0,+∞)上是减函数,正确; 对