主题一 第一章 第4节 均值不等式及其应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　均值不等式及其应用 [课程标准要求] 1.掌握均值不等式≤(a>0,b>0). 2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值;数称为a,b的几何平均值.两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 2.均值不等式≥ (1)均值不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b. 3.均值不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值(简记:和定积最大). (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(简记:积定和最小). a2+b2≥2ab成立的条件与≥成立的条件不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而≥成立的条件是a>0,b>0. 1.+≥2(a,b同号). 2.ab≤(a,b∈R). 3.≥()2(a,b∈R). 4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca; (2)a>0,b>0,c>0则≥. 5.≥≥≥(a>0,b>0). 6.若a>0,b>0,则a2+b2≥2ab可变形为a≥2b-或b≥2a-. 1.当x<0时,函数y=x+(　A　) A.有最大值-4 B.有最小值-4 C.有最大值4 D.有最小值4 解析:y=x+=-[(-x)+(-)]≤-2=-4, 当且仅当x=-2时,等号成立. 2.已知x,y为正实数,且xy=4,则x+4y的最小值是(　B　) A.4 B.8 C.16 D.32 解析:法一　因为x,y为正实数,且xy=4,则x+4y≥2=8,当且仅当x=4y,即x=4,y=1时,等号成立,所以x+4y的最小值为8. 法二　由题意,由正实数x,y,且xy=4,可得y=,则x+4y=x+≥2=8,当且仅当x=,即x=4时,等号成立,所以x+4y的最小值是8. 3.(2022·山东滨州三校联考)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(　C　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时,取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3. 4.函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　.  解析:因为0≤x≤1, 所以3-2x>0, 所以y=·2x·(3-2x)≤[]2=,当且仅当2x=3-2x, 即x=时,等号成立. 答案: 利用均值不等式求最值 直接法 [例1] (-6<a<3)的最大值为　　　　.  解析:因为-6<a<3,所以3-a>0,a+6>0,由均值不等式可得≤=,当且仅当3-a=a+6,即a=-时,等号成立. 答案: 利用均值不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”. (1)“一正”就是各项必须为正数. (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值. (3)“三相等”是利用均值不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值. 配凑法 [例2] 若x<,则f(x)=3x+1+有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 解析:因为x<,所以3x-2<0, f(x)=3x-2++3 =-[(2-3x)+]+3 ≤-2+3=-3. 当且仅当2-3x=, 即x=-时,取“=”. 故选C. 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用均值不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 常数代换法 [例3] (1)(2022·辽宁鞍山二模)已知正实数a,b满足a+b=2,则+的最小值是(　　) A. B. C.5 D.9 (2)已知正数a,b满足4a+b=ab,则a+b的最小值为(　　) A.3 B.9 C.16 D.25 解析:(1)+=+)(a+b)=++5)≥×(4+5)=,当且仅当=,即a=,b=时,等号成立.故选B. (2)因为4a+b=ab,所以+=1, 所以a+b=(a+b)(+)=5++. 因为a>0,b>0,所以+≥2=4(当且仅当=,即b=2a,此时a=3,b=6取等号).所以a+b≥9.故选B. [典例迁移1] 本例中(1)的条件不变,求+的最小值. 解:因为a>0,b>0,且a+b=2, 所以(a+1)+(b+1)=4. 所以[(a+1)+(b+1)]=1. 所以+=+)[(a+1)+(b+1)]=[4+1++]≥[5+2]=(当且仅当b+1=2(a+1),即a=,b=时,取等号). [典例迁移2]