主题一 第一章 第2节 常用逻辑用语-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　常用逻辑用语 [课程标准要求] 1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系. 2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A={x|p(x)},B={x|q(x)}. ①若p是q的充分条件,则A⊆B; ②若p是q的充分不必要条件,则A⫋B; ③若p是q的必要不充分条件,则A⫌B; ④若p是q的充要条件,则A=B. 口诀:小充分,大必要. 2.全称量词命题与存在量词命题 (1)“所有”“任意”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,称为全称量词命题. (2)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,称为存在量词命题. 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 量词命题 量词命题的否定 结论 ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,﹁p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 1.(多选题)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(　AC　) A.∀x∈R,-x2-1<0 B.∃m∈Z,nm=m C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D.存在实数x,使得= 解析:对于A,∀x∈R,-x2≤0,所以-x2-1<0,故A选项是全称量词命题且为真命题; 对于B,当m=0时,nm=m恒成立,故B选项是存在量词命题且为真命题; 对于C,任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,故C选项是全称量词命题且为真命题; 对于D,因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以≤<,故D选项是存在量词命题且为假命题. 2.设x∈R,则“x>1”是“|x|>1”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当x>1时一定能够得到|x|>1,但是|x|>1却不一定得到x>1,也可以是x<-1. 3.已知命题p:∀n∈N*,n2>n-1,则命题p的否定﹁p为(　C　) A.∀n∈N*,n2≤n-1 B.∀n∈N*,n2<n-1 C.∃n∈N*,n2≤n-1 D.∃n∈N*,n2<n-1 解析:由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p:∀n∈N*,n2>n-1的否定﹁p为∃n∈N*,n2≤n-1. 4.使-2<x<2成立的一个充分条件是(　B　) A.x<2 B.0<x<2 C.-2≤x≤2 D.x>0 解析:由0<x<2⇒-2<x<2知选B. 5.已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若非p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由命题p有实数根,则Δ=16-4a≥0,则a≤4,所以非p为真命题时a的取值范围为a>4. 又a>3m+1是非p为真命题的充分不必要条件,所以3m+1>4,m>1,则m的取值范围为(1,+∞). 答案:(1,+∞) 全称量词命题与存在量词命题 1.(2022·河北石家庄模拟)已知命题p:∃x∈(0,+∞),ln x=1-x,则命题p的真假及﹁p依次为(　B　) A.真;∃x∈(0,+∞),ln x≠1-x B.真;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x C.假;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x D.假;∃x∈(0,+∞),ln x≠1-x 解析:当x=1时,ln x=1-x=0,故命题p为真命题; 因为p:∃x∈(0,+∞),ln x=1-x, 所以﹁p:∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x. 2.命题“∀x>-1,ln(1+x)≤x且ln(1+x)≥”的否定是(　C　) A.∀x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)< B.∀x≤-1,ln(1+x)>x且ln(1+x)< C.∃x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)< D.∃x>-1,ln(1+x)>x且ln(1+x)< 3.(多选题)下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是(　AC　) A.至少有一个实数x,使得x3=1 B.菱形的对角线互相垂直 C.∀x∈R,x2+x+>0的否定 D.∃x∈R,-x2+x-2≥0的否定 解析:对于选项A,命题是存在量词命题,当x=1时,x3=1,所以A中命题是真命题; 对于选项B,命题是全称量词命题,不满足题意; 对于选项