主题四 第十章 第6节 二项分布、超几何分布与正态分布-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第6节　二项分布、超几何分布与正态分布 [课程标准要求] 1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题. 3.了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题. 1.n次独立重复试验与二项分布 (1)n次独立重复试验:一个所有可能结果只有两种的随机试验,通常称为伯努利试验.在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. (2)二项分布:如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,2,…,n},而且P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n. X的分布列为 X 0 1 … k … n P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0 称X服从参数为n,p的二项分布,记作X～B(n,p). 2.超几何分布 (1)超几何分布:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0.否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=,k=t,t+1,…,s,这里的X称为服从参数为N,n,M的超几何分布,记作X～H(N,n,M). (2)一个特殊的超几何分布的分布列:如果X～H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下: X 0 1 … k … s P … … 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征: (1)考察对象分两类. (2)已知各类对象的个数. (3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型. 3.正态分布 (1)正态曲线及其性质 函数(x)=,其中μ=E(X),σ=,对应的图像称为正态曲线(钟形曲线),(x)常常记为μ,σ(x),正态曲线有如下基本性质: ①正态曲线关于直线x=μ对称,具有中间高、两边低的特点; ②正态曲线与x轴围成的图形面积为1; ③σ决定正态曲线的“胖瘦”,σ越大,正态曲线越“胖”,σ越小,正态曲线越“瘦”. (2)正态分布的定义 一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于μ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X～N(μ,σ2),此时μ,σ(x)称为X的概率密度函数,其中μ为X的均值,σ是X的标准差,σ2是X的方差. (3)正态分布的3σ原则 如果X～N(μ,σ2),则P(X≤μ)=P(X≥μ)=50%,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%. (4)标准正态分布 μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布.如果Y～N(μ,σ2),那么令X=,则可以证明X～N(0,1),即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.如果X～N(0,1),那么对任意实数a,通常记Φ(a)=P(X<a),根据正态曲线的对称性,可得Φ(-a)+Φ(a)=1. 1.已知随机变量X～B(n,p),若E(X)=1,D(X)=,则P(X=3)等于(　D　) A. B. C. D. 解析:由E(X)=1,D(X)=, 得np=1,np(1-p)=, 解得n=5,p=, 所以P(X=3)=()3(1-)2=. 2.已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则E(X)等于(　A　) A.2 B.1 C. D. 解析:X可能取1,2,3,其对应的概率为P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, 所以E(X)=1×+2×+3×=2. 3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=　　　　.  解析:因为X～N(2,σ2), 所以P(X>2)=0.5, 所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 答案:0.14 n重伯努利试验与二项分布 1.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为(　A　) A. B. C. D. 解析:由