08 三力平衡问题的求解策略——以“轻绳、轻杆模型”为例-《中学生数理化》高考理化2023年9月刊

■山东省临沂第十八中学 张 宇 ■山东省临沂第十九中学 夏宗平 共点力平衡是指物体受到几个力的作用 处于平衡状态,即处于静止或匀速直线运动 状态。三力平衡是共点力平衡问题中的一个 考查热点,也是难点,求解三力平衡问题对同 学们的理解能力、空间想象能力、逻辑推导能 力和应用数学知识解决物理问题能力的要求 都较高。下面以“轻绳、轻杆模型”中的三力 平衡问题为例,论述如何透过表面现象,抓住 各种题型的本质特征,找到相应的解题方法, 供同学们参考。 一、三力静态平衡问题 例 1 如图1所示,水平轻杆BC 的B 图1 端用铰链固定在竖直墙壁 上,轻绳 AD 拴接在轻杆C 端,D 端所挂物体质量为m, 轻绳AC 段与水平方向间的 夹角α=30°,取重力加速度 g=10 m/s2,求轻绳 AC 的 拉力T 的大小,以及轻杆BC 对结点C 的支 持力N。 指点迷津:本题是平衡问题中典型的死 结、活杆模型,以结点C 为研究对象,分析轻 绳时要特别注意轻绳 AC 段是拴接在C 点 的,其拉力不等于物体的重力,分析轻杆时要 特别注意与铰链相连的杆上的作用力一定沿 杆的方向。 解法1:力的合成法。对结点C 进行受 力分析,以T 和N 为邻边作平行四边形,其 对角线与mg 大小相等,方向相反,如图2所 示。根据几何关系得T= mg sin α=2mg ;N= mg tan α= 3mg ,方向水平向右。 解法2:正交分解法。对结点C 进行受 力分析并正交分解,如图3所示。根据几何 关系得Tx=Tcos α,Ty=Tsin α。根据平衡 条件得Tx=N,Ty=mg。联立以上各式解 得T=2mg;N= 3mg,方向水平向右。 图2 图3 点评:已知三个力的方向且其中两个力存 在垂直关系是三力静态平衡问题中最常见的 题型。解题时既可以利用力的合成法,先构建 平行四边形找到直角三角形,再利用三角函数 关系进行求解;也可以利用正交分解法,先以 相互垂直的两个力的方向为x、y 轴建立平面 直角坐标系,将不在坐标轴上的那个力分解到 坐标轴上,再利用平衡关系进行求解。 图4 变式1:如图4所示,轻 杆BC 的B 端用铰链固定在 水平地面上,轻绳 AD 拴接 在轻杆C 端,D 端所挂物体 质量为m,轻绳 AC 段与水 平方向间的夹角α=30°,轻杆BC 与水平方 向间 的 夹 角β=45°,取 重 力 加 速 度 g= 10 m/s2,求轻绳AC 的拉力T 的大小,以及 轻杆BC 对结点C 的支持力。 答 案:T = (3 + 1)mg;N = (32+ 6)mg 2 ,方向与水平方向成45°角斜 向右上方。 提示:已知的三个力不存在某 两个力的方向始终垂直的关系,无法构建直 角三角形,但可以用正交分解法进行求解。 对结点C 进行受力分析并正交分解,如图5 92 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2023年9月 {#{QQABRQYAoggoAAJAAAgCQQEACECQkAGACCoGAAAIsAAAAAFABCA=}#} 图5 所示。根据几何关系得Tx =Tcos α,Ty =Tsin α, Nx=Ncos β,Ny=Nsin β。 根据平衡条件得Tx=Nx, Ny=Ty+mg。联立以上 各式解得T=(3+1)mg; N= (32+6)mg 2 ,方 向 与水平方向成45°角斜向右上方。 图6 变式2:如图6所示,轻 绳AD 跨过固定在水平横梁 BC 右端的定滑轮悬挂一个 质量为m 的物体,轻绳 AC 段与水平方向间的夹角α= 30°,取 重 力 加 速 度 g = 10 m/s2。求轻绳AC 段的张力T 的大小,以 及横梁BC 对C 点的支持力。 答案:T=mg;N=mg,方向与竖直方向 成60°角斜向右上方。 提示:已知两个力的 大小和方向且两个力存在相等关系,而第三 个力的方向未知,用力的合成法构建菱形可 知第三个力一定在前两个力的角平分线上, 根据三角形的边长关系即可求出第三个力的 图7 大小。对 C 点 进 行 受 力 分 析,则 T=mg,以 T 和 mg 为邻边作平行四边形,其对 角线与 N 大小相等,方向相 反,如图7所示。根据几何 关系得 N=mg,方向与竖直 方向成60°角斜向右上方。 二、三力动态平衡问题 图8 例 2 如图8所示,用 轻绳OA、OB 悬挂一物体处 于平衡状态,轻绳 OA 与竖 直方向成一夹角,轻绳 OB 水平。当轻绳OA 的悬点A 缓慢向右移动时,轻绳 OB 始终保持水平。设此过程中轻绳OA、OB 的 拉力分 别 为 FOA、FOB,下 列 说 法 中 正 确 的 是( )。 A.FOA 一直减小 B.FOA