05 浅探圆锥摆问题-《中学生数理化》高考理化2023年9月刊

浅探圆锥摆问题 ■华中科技大学附属中学 许 文 如图1所示,将不可伸长的轻绳一端固 定,另一端系一个小球,让小球获得某一速度 图1 后,小球在水平面内做匀速 圆周运动,在运动过程中轻 绳扫过的形状为一圆锥,则 这个运动称为圆锥摆运动。 在生活中有很多类似圆锥摆 的运动,以圆锥摆为背景的 物理试题在近几年的高考试卷中频繁出现。 分析圆锥摆的运动特点,探究圆锥摆的运动 条件,研究圆锥摆的临界状态与极值问题,将 有助于我们更好地将圆锥摆的运动规律应用 到实际问题的求解中。 一、基本模型 设绳长为l,小球质量为m,小球做匀速 圆周运动的角速度为ω,小球运动过程中轻 绳与竖直方向间的夹角为θ,则小球做圆周 运动的水平面与轻绳悬点间的距离(圆锥的 高度)h=lcos θ。 1.运动分析。 做圆锥摆运动的小球在水平面内做匀速 圆周运动。 2.受力分析。 图2 (1)受力特点:小球 受 到 竖 直 向 下 的 重 力 mg、沿绳向上的拉力T, 如图2所示。在竖直方向 上,合力为零,有Tcos θ= mg;在水平方向上,向心 力Fn 由重力mg 与拉力 T 的合力(拉力T 的水平分力)提供。 (2)大小关系:向心力大小Fn=Tsin θ= mgtan θ=mω2lsin θ,轻绳的拉力大小T= mg cos θ= mgl h =mω 2l。 3.周期分析。 (1)大小:由mgtan θ=m 2πT 2 lsin θ得 T=2π lcos θ g =2π h g 。 (2)特点:圆锥摆的周期 T 由圆锥的高 度h与重力加速度g 决定。 图3 例 1 如图3所示, 儿童玩具拨浪鼓上分别系 有长度不等的两根细绳, 细绳一端系着小球,另一 端固定在关于手柄对称的 鼓沿上。现使鼓绕竖直放 置的手柄匀速转动,两小 球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动。 两球的位置关系可能正确的是(图4中细绳 与竖直方向间的夹角α<θ<β)( )。 图4 解析:手柄匀速转动,稳定后两小球均做 周期为T 的圆锥摆运动。设鼓的半径为r, 绳长为l,细绳与竖直方向间的夹角为θ,则 绳长的竖直分量h=lcos θ;由小球的重力与 细绳拉力的合力提供向心力,则 mgtan θ= m 2πT 2 (r+lsin θ),变形得 T2g 4π2 =h+ r tan θ , 因此当转动周期T 相同时,若细绳与竖直方 向间的夹角θ越大,则绳长的竖直分量h 越 大。由α<θ<β可知,只有选项C正确。 答案:C 点评:鼓随手柄匀速转动,用轻绳系于鼓 图5 沿上的两小球稳定时做与手柄转动周期相同 的圆锥摆运动。小球在水平面内做圆周运动 的轨迹半径为r+lsin θ。上述求解过程是基 于小球做圆锥摆运动由 重 力 和 拉力的合力提供向心力 得 到 关 于T、θ 及h 的函数关系而得出 的。若充 分 利 用 圆 锥 摆 的 周 期 由圆锥的高度与重力加 速 度 决 定这一特点,结合题给条件α< θ<β,画出如图5所示的小球做 81 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2023年9月 {#{QQABTQYEggCAABJAAAgCQQFwCECQkBEACKoGBAAMoAAAQBFABCA=}#} 圆锥摆运动的圆锥高度 H,借助几何图形进 行分析判断,则很容易选出正确答案为C。 二、拓展模型 生产生活中有很多运动的受力特点与运 动性质与圆锥摆类似,我们把这类运动均称 为类圆锥摆运动。生产生活中常见的类圆锥 摆运动(弹力N 相当于圆锥摆基本模型中的 绳子拉力T)有: 1.小球沿光滑漏斗内壁在水平面内做匀 速圆周运动,受力情况如图6甲所示。 2.套在光滑细杆上的小环随杆在水平面 内做匀速圆周运动,受力情况如图6乙所示。 3.固定在弹性细杆一端的小球随杆在水 平面内做匀速圆周运动,受力情况如图6丙 所示。 图6 4.小球穿在光滑竖直圆环上随圆环在水 平面内做匀速圆周运动,受力情况如图7甲 所示。 5.火车在内低外高的圆弧弯道路面上转 弯时内外轨均无侧向挤压,或汽车不受径向 摩擦力,在水平面内做匀速圆周运动,受力情 况如图7乙所示。 6.滑冰女运动员在男运动员的拉力作用 下在水平面内做匀速圆周运动(女运动员恰 好离开水平冰面),受力情况如图7丙所示。 图7 例 2 某同学在乘坐列车的过程中研 究列车的运动情况。他在车厢顶部用细线悬 图8 挂一个小熊玩具,当列车以 恒定速率通过一段弯道时, 发现悬挂小熊玩具的细线与 车厢侧壁平行,如图8所示。 下列判断正确的是( )。 A.细线对玩具的拉力 大小等于玩具的重力大小 B.外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用 C.内侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用 D.如果知道