04 创新，从集合开始-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

■扬州大学数学科学学院 张雨嫣 创新意识与创新应用是时代的召唤与主旋 律,也是高中数学学习过程中不断渗透与培养 的一种基本精神。而集合作为高中数学学习的 第一个知识点,可以很好地加以铺垫,以集合为 依托,以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发 现”为目的,很好地融入创新意识与创新应用, 也为高中数学的学习开了一个好头。 一、新概念 例 1 若一个数集中任何一个元素的 倒数仍是该数集中的元素,则称该数集为“可 倒数集”。试写出一个含有3个元素的可倒 数集为 。 分析:借助数集所满足的特殊条件来定义 新概念,利用特殊的对称性,结合新概念集合 中含有3个元素(奇数个)来构建方程,确定其 中一个元素的值,再结合新概念所对应的集合 的基本特征写出满足概念的集合即可。 解:根据定义的新概念,若a∈A,则必有 1 a∈A ,现已知集合A 中含有3个元素,故必 有1个元素满足a= 1 a ,解得a=±1,则可以 取 集 合 A = 1,2, 1 2 或 -1,2,12 或 1,3, 1 3 等,答案不唯一。 故 填 答 案:1,2, 1 2 或 -1,2,12 。 答 案 不 唯 一, 形 如 1,b, 1 b 或 -1,b, 1 b (这里的b≠±1和0)即可。 点评:解决此类集合中的定义新概念问 题,关键是正确分析、理解并掌握新概念的内 涵与实质,抽象出对应新概念的属性,并结合 结论所要确定的目标进行逻辑推理或代数运 算。此题以开放性创新题的形式来创设,答 案不唯一,从概念、形式等多个层面加以创 新,很好地融入创新意识与创新应用。 二、新名称 例 2 设集合M=x|m≤x≤m+34 ,集 合N= x|n- 1 3≤x≤n ,且集合 M 与 N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集。如果把b-a 叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是( )。 A. 1 3 B. 2 3 C. 1 12 D. 5 12 分析:本题以集合的子集为背景,创新定 义集合中的新名称———“长度”,根据该集合 的新名称,分别确定集合 M、N 的“长度”,而 求解 M∩N 的“长度”,就可以转化为求解两 线段公共部分最短时的长度值。 解:根据新名称———“长度”,可知集合 M 的“长度”为 3 4 ,集合 N 的“长度”为 1 3 ,集 合“{x|0≤x≤1}”的“长度”为1,那么求解 M∩N 的“长度”的最小值,就相当于求两线 图1 段公共部分最短时的长度 值。如图1所示,设 AB 是一长度为1的线段,a 是长度为 3 4 的线段,b 是 长度为 1 3 的线段,a,b 可在线段AB 上自由 滑动,a,b重叠部分的长度即为M∩N 的“长 度”,由图1可知,当a,b 各自靠近线段AB 的两端(如a 靠近端点A,b靠近端点B)时, 重叠部分最短,所以集合 M∩N 的“长度”的 最小值是 3 4+ 1 3-1= 1 12 。 故选择答案:C。 点评:解决此类集合中的定义新名称问 题,关键是挖掘新名称的实质,以对应定义的 新名称所对应的集合的实质,或元素属性,或 集合运算,或集合性质等来转化与应用。此 题以集合的“长度”来创新定义集合所对应的 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年9月 {#{QQABbQwAoggAABIAAQgCQQVgCkCQkAEAAAoGQAAAsAAAgBFABCA=}#} 区分的长度,“数”与“形”合理渗透与转化,以 “形”创新解“数”,数形结合,创新应用。 三、新运算 例 3 设U 为全集,对于集合X,Y,定 义新运算“*”:X*Y=∁U(X∩Y)。对于集 合U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3}, Y={3,4,5},Z={2,4,7},则(X*Y)* Z= 。 分析:正确分析题意,根据定义的新运 算,以及集合的交与补的基本运算加以交汇 与综合,先确定X*Y 所对应的集合,再利用 定义的新运算,进一步确定(X*Y)*Z 的集 合,实现集合的创新运算的应用。 解:由于U={1,2,3,4,5,6,7,8},X= {1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},可得 X ∩Y={3}。由题中定义的新运算,可得 X* Y=∁U(X∩Y)={1,2,4,5,6,7,8},则有 ∁U(X∩Y)∩Z={2,4,7}。所以(X*Y)* Z=∁U[∁U(X∩Y)∩Z]={1,3,5,6,8}。 故填答案:{1,3,5,6,8}。 点评:解决此类集合中的定义新运算问 题,关键是挖掘新运算的内涵与运算规则,同 时应用集合中已有的交、并、补等基本运算, 以及相关的代数运算等加以综合,正确逻辑 推理,巧妙代数运算,从