素养拓展26 立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展26 立体几何中的轨迹问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、立体几何中的轨迹问题 立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面. 二、常用的解决策略 (1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断. (2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状. (3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等. (4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路. 三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析 令平面与轴线的夹角为,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②. (1) 当时,截口曲线为椭圆; (2)当时,截口曲线为抛物线; (3)当时,截口曲线为双曲线. 图②我们再从几何角度来证明. (1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆. (2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线. (3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线. 二、题型精讲精练 1.平行、垂直有关的的轨迹问题 ①平行有关的轨迹问题的解题策略 1.线面平行转化为面面平行得轨迹; 2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. ②垂直有关的轨迹问题的解题策略 1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹; 2.利用空间坐标运算求轨迹; 3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹. 【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（　　） A．a B．a C． D． 【答案】D 【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项. 【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点， 则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD， 又，∴面A1BD∥面GHN， 又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD， 则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a. 【典例2】在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ） A．点 B．线段 C．线段 D．平面 【答案】B 【分析】如图，连接,证明,又，即得解. 【详解】 如图，连接, 因为平面,所以平面, 又平面, 所以,又.所以点在线段上.故选：B 2.距离、角度有关的的轨迹问题 ①距离有关的轨迹问题的解题策略 1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹； 2.利用空间坐标计算求轨迹. ②角度有关的轨迹问题的解题策略 1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面; 2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面; 3.利用空间坐标系计算求轨迹. 【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程即可判断. 【详解】 如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题