第2.2讲 基本不等式-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 第2.2讲 基本不等式 一、学习目标 1．掌握均值不等式，并能求解函数的最值，提升数学运算素养． 2．会用均值不等式比较代数式的大小，培养逻辑推理素养． 二、核心知识 　算术(几何)平均值及均值不等式 1.如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，并比较OD与CD的大小，你能发现一个不等式吗？ 提示：OD＝，由平面几何知识得CD2＝AC·BC＝ab，即CD＝，在Rt△ABD中，当AD≠BD，即a≠b时，＞；当AD＝BD，即a＝b时，＝，故≥. 2．你发现的这个不等式，对a＝1，b＝4时成立吗？对∀a，b∈(0，＋∞)都成立吗？ 提示：当a＝1，b＝4时，＝＞＝2，成立； 当a＞0，b＞0时，利用不等式的知识比较 －＝＝≥0， 故≥，即∀a，b∈(0，＋∞)，≥. 如果a＞0，b＞0 (1)a，b的算术平均值为，几何平均值为． (2)均值不等式≥，当且仅当a＝b 时，等号成立． 1．均值不等式成立的条件是a＞0，b＞0，并且当a＝b且只有这唯一的条件下等号才成立． 2．(1)当a＞0，b＞0时，≥⇔≥ab； (2)当a与b同号，即ab＞0时，＋≥2，当且仅当a＝b时等号成立． 三、核心例题 题型1 对均值不等式的理解 1．如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．若，，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 5．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 题型2 利用均值不等式求最小值 6．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．设，则函数，的最小值为（    ） A．7 B．8 C．14 D．15 8．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 9．设实数、满足，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型3 利用均值不等式求最大值 11．已知，，且，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 12．已知，代数式的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 13．已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 14．已知，那么c的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 15．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 三、当堂达标 一、单选题 1．若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．16 D．17 2．已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为，函数与交于点，函数与交于点，当（       ）时，的值最小. A．1 B． C． D．2 5．已知，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．6 D．2 6．有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为，，1的长方体.现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 8．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（　　） A．设，则的最小值是 B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最大值是1 10．下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．设，，且，则的最小值是 . 12．已知正数x，y满足，则的最大值为 . 四、解答题 13．（1）已知，求的最小值． （2）已知x，，且，求xy的最大值． 14．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有