主题三 第六章 第5节 解三角形的综合应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，人教A版）

第5节　解三角形的综合应用 1.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,相距a千米的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,朝北偏东θ方向前进,则θ等于(　　) A.15° B.30° C.45° D.60° 2.某同学想测量某泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶部的仰角为60°,他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达B点,又测得泉标顶部仰角为80°,则该同学求出泉标的高度约为(sin 20°≈ 0.342 0,sin 80°≈0.984 8,sin 60°≈0.866 0,结果精确到1 m) (　　) A.38 m B.50 m C.66 m D.72 m 3.如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A点起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行,飞行到中途C点,再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程大约多飞了(sin 12°≈0.21,sin 18°≈0.31)(　　) A.10 km B.20 km C.30 km D.40 km 4.如图,AD是某防汛抗洪大坝的坡面,大坝上有一高为20 m的监测塔BD,∠C=90°,若某科研小组在坝底A点测得∠BAD=30°,坝底到塔顶距离AB=30 m,则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为(　　) A. B. C. D. 5.为加快推进“5G+光网”双千兆城市,如图,在东北某地地面有四个5G基站A,B,C,D,已知C,D两个基站建在松花江的南岸,距离为 10 km;基站A,B在江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°, ∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A,B两个基站的距离为(　　) A.10 km B.30(-1) km C.30(-1) km D.10 km 6.(多选题)如图,△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边分别是a,b,c,∠ABC为钝角,BD⊥BA,cos 2∠ABC=-,c=2,b=,则下列结论正确的是(　　) A.sin A= B.BD=2 C.5=3 D.△CBD的面积为 7.(多选题)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°,距离为12 km,灯塔C在A的北偏西30°,距离为12 km,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向.下列选项正确的有(　　) A.AD=24 B.CD=12 C.∠CDA=60°或120° D.∠CDA=60° 8.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB= 3,AD=3,则BD的长为　　　　.  9.(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB等于(　　) A.+表高 B.-表高 C.+表距 D.-表距 10.(多选题)如图,设△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, (acos∠ACB+ccos∠BAC)=2bsin B,且∠BAC=.若点D是△ABC外一点,DC=1,DA=3,下列说法正确的是(　　) A.△ABC的内角B= B.△ABC的内角C= C.四边形ABCD面积的最大值为+3 D.四边形ABCD的面积无最大值 11.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距　　　　 m.  12.如图,已知扇形的圆心角∠AOB=,半径为4,点C是上的一动点(不与点A,B重合). (1)若弦BC=4(-1),求的长; (2)求四边形OACB面积的最大值. 13.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:km).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5节　解三角形的综合应用 1.B　如图,设两船在C处相遇, 则由题意得∠ABC=180°-60°=120°, 且=,由正弦定理得==, 所以sin∠BAC=. 又因为0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°, 所以θ=30°, 所以甲船应朝北偏东30°方向前进. 2.A　如图所示,点C,D分别为泉标的底部和顶部. 依题意,∠BAD=60°,∠CBD=80°,AB=15.2 m, 则∠