主题二 第三章 第4节 利用导数研究恒(能)成立问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，人教A版）

第4节　利用导数研究恒(能)成立问题 1.(2022·天津八校联考)设函数f(x)=x2ex. (1)求在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当x∈[-2,2]时,求使得不等式f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围. 2.设函数f(x)=其中a>0. (1)若直线y=m与函数f(x)的图象在(0,2]上只有一个交点,求m的取值范围; (2)若f(x)≥-a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 3.已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1). (1)求f(x)的单调区间; (2)若对∀x∈[0,+∞),f(x)≥ax恒成立,求实数a的取值范围. 4.已知函数f(x)=ln x-ax,a∈R. (1)求f(x)的单调区间; (2)对于给定的正数a,若存在x0,使得f(x0)>0,求正数a的取值范围. 5.已知a为实数,函数f(x)=aln x+x2-4x. (1)若x=3是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值; (2)设g(x)=(a-2)x,若存在x0∈[,e],使得f(x0)≤g(x0)成立,求实数a的取值范围. 6.(2022·辽宁沈阳模拟)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+sin x,g(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且g(x)=ax+-2(a>0). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若对于∀x1∈[-1,1],∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4节　利用导数研究恒(能)成立问题 1.解:(1)因为f′(x)=x2ex+2xex, 所以k=f′(1)=3e,f(1)=e, 所以切线方程为3ex-y-2e=0. (2)令f′(x)>0,即x(x+2)ex>0,得x<-2或x>0, 令f′(x)<0,即x(x+2)ex<0,得-2<x<0, 所以f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调递减. (3)由(2)知, f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增, 所以f(x)min=f(0)=0. 当x∈[-2,2]时,不等式f(x)≤2a+1能成立, 需2a+1≥f(x)min,即2a+1≥0,故a≥-, 即a的取值范围为[-,+∞). 2.解:(1)当x>0时,f′(x)=6x2-6x, 令f′(x)=0,得x=1; 令f′(x)>0得x>1,f(x)单调递增; 令f′(x)<0得0<x<1,f(x)单调递减, 所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为 f(1)=-2, 因为f(0)=-1,f(2)=3, 所以由数形结合可得-1≤m≤3或m=-2. (2)当x≤0时,f′(x)=2a(x+1)ex,a>0, 令f′(x)=0得x=-1; 令f′(x)>0得-1<x≤0,f(x)单调递增; 令f′(x)<0得x<-1,f(x)单调递减, 所以f(x)在x=-1处取得极小值, 且极小值为f(-1)=--1, 因为a>0,所以--1<0, 因为当--1≥-2即0<a≤时,f(x)min=f(1)=-2,所以-a≤-2,即a≥2,所以无解, 当--1<-2即a>时,f(x)min=f(-1)=--1,所以-a≤--1,即a≥, 又>,所以a≥. 综上,a∈[,+∞). 3.解:(1)f(x)的定义域为(-1,+∞), f′(x)=ln(x+1)+1. 令f′(x)=0,得x=-1, 令f′(x)<0,得-1<x<-1, 令f′(x)>0,得x>-1, 所以f(x)的单调递减区间为(-1,-1),单调递増区间为(-1,+∞). (2)令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 则g′(x)=ln(x+1)+1-a. ①当a≤1时,1-a≥0,ln(x+1)≥0, 所以g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)上单调递增, 又因为g(0)=0,所以g(x)≥g(0)=0, 即对∀x∈[0,+∞),有f(x)≥ax恒成立. ②当a>1时,令g′(x)=0,得x=ea-1-1>0, 当x∈(0,ea-1-1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减, 又因为g(0)=0, 所以当x∈(0,ea-1-1)时,g(x)<g(0)=0,不满足题意. 综上,实数a的取值范围是(-∞,1]. 4.解:(1)因为f(x)=ln x-ax,a∈R,定义域为 (0,+∞),所以f′(x)=-a. ①当a≤0时,f′(x)=-a>0, 所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ②当a>0时,若0<x<,f′(x)=-a>0; 若x>,f′(x)=-a<0, 所以f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). 综上,当a