主题二 第二章 培优课(一) 抽象函数的性质-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，人教A版）

培优课(一)　抽象函数的性质 1.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f()+f(x-1)的定义域为(　　) A.(-2,0) B.(-2,2) C.(0,2) D.(-,0) 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则 f(2 022)等于(　　) A.-3 B.0 C.1 D.3 3.函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(x-2)的图象关于直线x=2对称,若f(-2)=1,则满足f(x-2)≥1的x的取值范围是(　　) A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[0,4] 4.已知函数y=f(x-2)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数,且f(0)-f(6)=4,则f(2 022)=　　　　.  5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2),f(1)=4,则f(3)+f(10)的值为　　　　.  6.已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意实数x,y,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y);②对任意x∈[0,1),f(x)>0. (1)求f(0); (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性; (3)若f(1)=0,直接写出f(x)的所有零点(不需要证明). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优课(一)　抽象函数的性质 1.C　由题意得 所以所以0<x<2, 所以函数g(x)=f()+f(x-1)的定义域为(0,2). 2.B　用-x替代x,得到f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(x), 所以T=6,所以f(2 022)=f(337×6)=f(0). 因为f(-x)=-f(x),所以f(0)=0, 所以f(2 022)=0. 3.D　因为y=f(x-2)的图象向左平移2个单位长度可得到y=f(x)的图象,所以由f(x-2)的图象关于直线x=2对称可知y=f(x)的图象关于y轴对称,为偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上为增函数,且f(-2)=f(2)=1,所以f(x-2)≥1只需-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4. 4.解析:根据题意,函数y=f(x-2)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称, 则有f(-4+x)=-f(-x), 因为y=f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则有f(x+2)=f(-x), 故有f(x+2)=-f(x-4),即f(x+6)=-f(x), 变形可得f(x+12)=-f(x+6)=f(x), 即函数f(x)是周期为12的周期函数, f(0)-f(6)=4,变形有-2f(6)=4, 则有f(6)=-2, f(2 022)=f(6+168×12)=f(6)=-2. 答案:-2 5.解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(x)=f(-x),因为f(x+4)=f(x)+f(2), 令x=-2,可得f(2)=f(-2)+f(2), 则f(-2)=0,则f(-2)=f(2)=0, 所以f(x+4)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的函数, 所以f(10)=f(6)=f(2)=0, 因为f(1)=4, 所以f(3)=f(-1)=f(1)=4, 则f(3)+f(10)=4+0=4. 答案:4 6.解:(1)令x=0,y=0, 则f(0)+f(0)=2f(0)f(0), 可得f(0)[f(0)-1]=0, 因为对任意x∈[0,1),f(x)>0, 所以f(0)=1. (2)f(x)是偶函数,证明如下: 令x=0,y为任意实数, 则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y), 即f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数. (3)若f(1)=0,令y=1, 则f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=0, 即f(x+1)=-f(x-1),则f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, 又f(-1)=f(1)=0, 所以f(x)的所有零点为2n+1,n∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $$