主题一 第一章 第4节 基本不等式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，人教A版）

第4节　基本不等式 1.当x>1时,f(x)=的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 2.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个式子中最大的是(　　) A. B.+ C. D. 3.(2023·重庆模拟)已知x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,则x+y的最小值是(　　) A.1 B.4 C.7 D.3+ 4.已知x>0,y>0,且x+2y=1,若不等式+≥m2+7m恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.-8≤m≤1 B.m≤-8或m≥1 C.-1≤m≤8 D.m≤-1或m≥8 5.若0<x<2,则x的最大值为　　　　.  6.(2020·江苏卷)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 　　　 　.  7.已知a>b>0,当4a++取到最小值时,a=　　　　.  8.已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是　　　　.  9.(1)若直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),求+的最小值; (2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,求x+3y的最小值. 10.(2022·山东潍坊二模)已知正实数a,b满足a2+2ab+4b2=6,则a+2b的最大值为(　　) A.2 B.2 C. D.2 11.(2022·广东佛山模拟)已知正数x,y满足x++y+=5,则x+y的最小值与最大值的和为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 12.写出一个关于a与b的等式,使+是一个变量,且它的最小值为16,则该等式为　 .  13.某市计划建立一个文化产业园区,计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S m2的矩形文化园展厅CDEF,如图,点C,D在底边AB上,E,F分别在腰OB,OA上,已知OA=OB=30 m,AB=30 m,OE= x m,x∈[14,20]. (1)试用x表示S,并求S的取值范围; (2)若矩形展厅CDEF每平方米的造价为,绿化区(题图中阴影部分)每平方米的造价为(k为正常数),求总造价W关于S的函数W=f(S),并求当OE为何值时总造价W最低. 14.证明下列各题:已知a,b,c为正数. (1)若abc=1,求证:a+b+c≤++; (2)若a+b+c=9,求证:++≥1. 15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1),最小值为0,则ac的最大值为　　　　,实数λ满足1-b=λ,则λ的取值范围为　　　 　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4节　基本不等式 1.A　因为x>1,故f(x)==≤=,当且仅当x=,即x=2时,取等号,故f(x)=的最大值为. 2.B　因为a,b为互不相等的正实数, 所以+>,<=<, <=<, 所以最大的是+. 3.C　因为x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4, 所以x+y=(x-2)+(y-1)+3≥2+3=7, 当且仅当时,等号成立. 4.A　因为x>0,y>0,x+2y=1,所以+=(x+2y)·(+)=++4≥4+ 2=8(当=,即x=2y=时,取等号),因为不等式+≥m2+7m恒成立,所以m2+7m≤8,解得-8≤m≤1. 5.解析:因为0<x<2, 所以x=≤=2, 当且仅当x2=4-x2,即x=时,取“=”. 答案:2 6.解析:法一　由5x2y2+y4=1得x2=-, 则x2+y2=+≥2=,当且仅当=,即y2=时,取等号,则x2+y2的最小值是. 法二　4=(5x2+y2)·4y2≤[]2=(x2+y2)2, 则x2+y2≥,当且仅当5x2+y2=4y2=2, 即x2=,y2=时,取等号,则x2+y2的最小值是. 答案: 7.解析:因为a>b>0, 所以2a+b>0,2a-b>0, 所以4a++=(2a+b)+++(2a-b)≥2+2=4+2=6, 当且仅当即即a=,b=时,等号成立. 答案: 8.解析:因为对任意x∈N*,f(x)≥3,即≥3恒成立,即a≥-(x+)+3.设g(x)=x+,x∈N*, 则g(x)=x+≥4,当且仅当x=2时,等号成立, 又g(2)=6,g(3)=,g(2)>g(3),所以g(x)min=. 所以-(x+)+3≤-,所以a≥-,故a的取值范围是[-,+∞). 答案:[-,+∞) 9.解:(1)因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2), 所以2m+2n-2=0,即m+n=1, 所以+=(+)(m+n)=3++≥3+2, 当且仅当=,即n=m时,取等号, 所以+的最小值为3+2. (2)法一(换元消元法)　由已知得x+3y=9-xy, 因为x>0,y>0,所以x+3y≥2, 所以3xy≤()2, 当且仅当x=3y,即x=3,y=1