正弦定理，余弦定理和解三角形——高一下学期同步讲义

正弦定理，余弦定理和解三角形 【考纲解读】 1、 理解并掌握正弦定理和余弦定理； 2、 掌握求解三角形的基本方法，能够熟练地运用正弦定理和余弦定理解答相关的数学问题。 【知识精讲】 一、正弦定理： 在一个三角形中，各边与它对角正弦的比相等，并且等于该三角形外接圆的直径。 如图，设ABC三内角A，B，C的 A A 对边分别是a，b，c，则正弦定理可 A 表示为： c b c b b ===2R B a C c （这里R是ABC外接圆的半径）。 B a C B a C 二、余弦定理： 在一个三角形中，任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的二倍。 如图，设ABC三内角A，B，C的 对边分别是a，b，c，则余弦定理可表 A 示为： A A =+-2bccosA； c b c b c b =+-2accosB； B a C B a C B a C =+-2abcosC。cosA=； cosB=；cosC=。 三、三角形中常用的关系式： 1、三角形的三内角和定理：若ABC三内角为A，B，C，则A+B+C=； 2、三角形的边，角关系定理：“在一个三角形中，大边对大角，大角对大边”，即若a＞b，则A＞BsinA＞sinB；反之若sinA＞sinB，则A＞Ba＞b； 3、三角形的面积公式：=底高=absinC=acsinB=bcsinA==rp=Rr（sinA+sinB+sinC）==2sinAsinBsinC（其中p=（a+b+c），R，r分别是ABC的外接圆和内切圆半径）； 4、三角形内的诱导公式：（1） sinA=sin(B+C)；sinB==sin(A+C)；sinC==sin(A+B)； （2）cosA=-cos(B+C)；cosB=-cos(A+C)；cosC=-cos(A+B)；③sin =cos；sin =cos；sinC=cos；④cos =sin；cos =sin；cos =sin； 4、设ABC三内角为A，B，C，如果A，B，C成等差数列B=；ABC为正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列。 四、解三角形： 1、解三角形的定义： 一个三角形三边a、b、c与三角A、B、C合起来是六个元素，在这六个元素中任意已知三个元素，可以通过正弦定理或余弦定理求出其余三个元素，解答这类问题称为解三角形。 2、解三角形的基本方法： 解三角形的基本方法是：①根据问题的条件选择合适的定理（正弦定理或余弦定理），②运用选择的定理并结合三角形中常用关系式解答问题，③综合分析得出结果。 3、解三角形的应用： （1）仰角和俯角的定义：①仰角：与目标线在同一铅锤平面内的水平视线和目标视线的夹角，当目标视线在水平视线的上方时，称为仰角；②俯角：与目标线在同一铅锤平面内的水平视线和目标视线的夹角，当目标视线在水平视线的下方时，称为俯角； （2）方向角和方位角的定义：①方向角：相对于某正方向的水平角，称为方向角；②方位角：指从某正方向顺时针转到目标方向的水平角，称为方位角； （3）坡度的定义：坡度（又称坡比）是指坡面的垂直高度与水平长度的比。 【探导考点】 考点1运用正弦定理（或余弦定理）解三角形：热点①正弦定理及运用；热点②余弦定理及运用；热点③正弦定理和余弦定理的综合运用； 考点2三角形面积公式及运用：热点①已知三角形一个边角关系式和三角形的面积，求角（或边）；热点②已知三角形一个边角关系式和角（或边），求三角形的面积； 考点3正弦定理（或余弦定理）的应用：热点①已知三角形一个边角关系式，判断三角形的形状；热点②运用正弦定理（或余弦定理），求解几何计算问题；热点③运用正弦定理（或余弦定理），求解实际应用问题。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、在锐角ABC中，角A、B、的对边分别是a、b，若2asinB=b，则角A等于（ ） A B C D 2、已知锐角ABC的内角A，B，C的对