3.2.2双曲线的简单几何性质（第2课时）（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质（第2课时）导学案 学习目标 1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养． 2.了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养． 3.根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养． 重点难点 1.重点：理解直线与双曲线的位置关系. 2.难点：会求解有关弦长问题． 课前预习 自主梳理 1.直线与双曲线位置关系的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有 的交点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线有 的交点． (3)Δ<0时，直线与双曲线有 的交点． 当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 2.求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝ |x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|. 　自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条．(　　) (2)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　　) (3)当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切．(　　) (4)直线与双曲线有相交、相切、相离三种位置关系．(　　) 2.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线的一条渐近线斜率大于1,则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 4.设，分别为双曲线的左､右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D． 5.双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 新课导学 学习探究 1、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题． 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 解： 环节二 观察分析，感知概念 例5动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 环节三 抽象概括，形成概念 思考 将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是， 则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义． 环节四 辨析理解 深化概念（弦长问题） 例6如图3.2-12，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求． 解： 规律总结　 双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|. 环节五 概念应用，巩固内化 例7 求证：双曲线的焦点到渐近线的距离为． 证明： 环节六 归纳总结,反思提升 问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)双曲线的第二定义． (2)判断直线与双曲线的位置关系． (3)弦长公式及中点弦问题． 2．方法归纳：定义法、数形结合． 3．常见误区： 判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论．代数计算中的运算失误． 【设计意图】 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力