5.3.1 样本空间与事件 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

5.3　概率 5.3.1　样本空间与事件 　　 抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况;抛掷一枚骰子,观察出现点数的情况。这类现象的共性是就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性,但在大量重复观测下,各个结果出现的频率却具有稳定性,这类现象叫随机现象。概率是对随机事件发生可能性大小的度量。 1.理解样本点和样本空间的概念,能表示出相应的样本空间; 2.理解不可能事件、随机事件、必然事件的概念; 3.了解随机事件的概率,并能用概率知识理解某些社会现象。 　 知识点一、样本点和样本空间 　　1.随机现象的概念。 一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象),发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象)。 2.样本点的概念。 我们把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点。 3.样本空间的概念。 我们把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)。 知识点二、随机事件 　　1.随机事件的概念。 如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集。而且:若试验的结果是A中的元素,则称A发生(或出现等);否则,称A不发生(或不出现等)。 2.必然事件的概念。 任何一次随机试验的结果,一定是样本空间Ω中的元素,因此可以认为每次试验中Ω一定发生,从而称Ω为必然事件。 3.不可能事件的概念。 因为空集⌀不包含任何样本点,因此可以认为每次试验中⌀一定不发生,从而称⌀为不可能事件。 4.事件的表示。 (1)通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件。 (2)可以用自然语言描述事件。 (3)也可以用维恩图直观地表示事件。 知识点三、随机事件发生的概率 　　1.随机事件的概率。 随机事件A发生的可能性大小称为随机事件A发生的概率(也简称为事件A的概率),通常用P(A)表示。 2.概率的性质。 (1)必然事件Ω的概率P(Ω)=1。 (2)不可能事件⌀的概率P(⌀)=0。 (3)随机事件A的概率P(A)∈(0,1)。 微提醒 　　(1)随机试验的特征:①在相同条件下可以重复进行;②结果明确,且不止一种;③事先无法预料结果。 (2)概率的意义:概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小,概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的。 　 类型一 样本点与样本空间 ( 1 2 3 4 ) 　　【例1】　甲、乙两同学向标有1,2,3,4四个面积相等的区域投掷飞镖,若每支飞镖都能钉在四个区域中的某一区域,记甲掷飞镖钉在x区域,乙掷飞镖钉在y区域如图。 (1)写出这个试验的样本空间; (2)求这个试验的样本点的总数; (3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点?“x<3且y>1”呢? (4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点?“x=y”呢? 解　(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}。 (2)样本点的总数为16。 (3)“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1); “x<3且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)。 (4)“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1);“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)。 　　(1)样本空间是指所有样本点构成的集合,而不是部分,写样本空间时,要做到不重不漏。 (2)随机事件可理解为样本空间的子集。 (3)求解试验的样本空间,应首先确定该试验的结果是否与顺序有关,然后再按照一定的规律列出所包含的样本点。常用方法有列举法、列表法、树状图 【变式训练】　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和样本空间。 (1)从中任取1球; (2)从中任取2球。 解　(1)条件为:从袋中任取1球。样本空间为{红,白,黄,黑}。 (2)条件为:从袋中任取2球。若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球,则样本空间为{(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}。 类型二 随机事件及其概率 　　命题方向1:随机事件 　　【例2】　判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件。 (1)某人射击一次,中靶; (2)抛一石块,下落; (3)如果a>b,那么a-b>0; (4)从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签; (5)某电话机在1分钟内收到2次呼叫; (6)没有水分,种子能发芽。 解　(2)(3)