4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图像 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

4.2.3　对数函数的性质与图像 第1课时　对数函数的概念、性质与图像 　　中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认,河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨。 经过发掘、整理、还原模型,专家推断这条黄河巨龙活着的时候,体重应该在60吨左右,是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”。 同学们,你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗?那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧! 1.理解对数函数的概念; 2.初步掌握对数函数的图像及性质; 3.能利用对数函数性质解决相关问题。 　 知识点一、对数函数的概念 　　一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1。 知识点二、对数函数的图像与性质 定义 y=logax(a>0且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞)上是　增　函数  在(0,+∞)上是　减　函数  共点性 图像过点(1,0),即loga1=0 函数值 特点 x∈(0,1)时, y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时, y∈[0,+∞) x∈(0,1)时, y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时, y∈(-∞,0] 对称性 函数y=logax与y=lox的图像关于x轴对称 奇偶性 非奇非偶函数 微提醒 　　(1)对数函数单调性的记忆口诀: 对数增减有思路,函数图像看底数; 底数要求大于0,但等于1却不行; 底数若是大于1,图像从左往右增; 底数0到1之间,图像从左往右减; 无论函数增或减,图像都过(1,0)点。 (2)在对数函数y=logax(a>0,且a≠1)中,①若0<a<1且0<x<1,或a>1且x>1,则有y>0;②若0<a<1且x>1,或a>1且0<x<1,则有y<0。以上性质可以简称为:同区间为正,异区间为负。有了这个规律,我们判断对数函数值的正负就很简单了。 微思考 函数y=log32x,y=log3(x+1)是对数函数吗? 提示:两函数均不符合对数函数的定义式y=logax(a>0且a≠1)的形式,故均不是对数函数。 　 类型一 对数函数的定义 　　【例1】　若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=　　　　。  解析　由题意可知解得a=4。 答案　4 　　判断对数函数的条件 (1)系数为1。 (2)底数大于0且不等于1。 (3)真数只是自变量x。 三者缺一不可 【变式训练】　下列函数中,是对数函数的为 (　　) A.y=logx2　　　 B.y=logax(a∈R) C.y=log8x D.y=log2(x+1) 解析　因为A中自变量出现在底数上,所以A不是对数函数;因为B中底数a∈R不能保证a>0且a≠1,所以B不是对数函数;因为D的真数为x+1,所以D也不是对数函数;只有C符合对数函数的定义。故选C。 答案　C 类型二 求对数型函数的定义域 　　【例2】　求下列函数的定义域: (1)y=; (2)y=。 解　(1)要使函数式有意义,需解得x<4,且x≠3,所以函数y=的定义域为(-∞,3)∪(3,4)。 (2)要使函数有意义,需满足 即解得-1<x<0,因此函数y=的定义域为(-1,0)。 　　求对数型函数定义域的注意事项 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,还对这种函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数大于零且不等于1 【变式训练】　求下列函数的定义域: (1)y=; (2)y=log2x-1(-4x+8)。 解　(1)由题意得 即所以x≤1。 即y=的定义域为{x|x≤1}。 (2)由题意得解得 所以y=log2x-1(-4x+8)的定义域为。 类型三 对数型函数的图像问题 　　命题方向1:图像的识别 　　【例3】　如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像,已知a取,,,,则相应于C1,C2,C3,C4的a值依次为 (　　) A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, 解析　对数函数图像在第一象限中符合“底大图低”的规律,由此规律知C1>C2>C3>C4,因为>>>,故选A。 答案　A 　　底数的大小决定了图像对应位置的高低:不论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图像对应的对数函数的底数逐渐变大 【变式训练】　已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图像可能是 (　　) 　A　　　 　　B　　 　　　C　　 　　　D 解析　因为lga+lgb=0,所以lgab=0,即ab=1,所