4.1.1 第2课时 实数指数幂 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

第2课时　实数指数幂 　　 牛顿在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说:“因为数学家将aa,aaa,aaaa,…写成a2,a3,a4,…,所以可将,,,…写成,,,…,将,,,…写成a-1,a-2,a-3,…”,于是幂指数就扩展为有理数。很容易猜想:若幂指数是无理数会怎么样呢? 1.了解无理指数幂的概念; 2.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值,培养数学运算核心素养。 　 知识点一、无理指数幂 　　一般地,无理指数幂at(a>0,t为无理数)是一个确定的实数。有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂。 知识点二、实数指数幂的运算 　　(1)asat=as+t,(as)t=ast,(ab)s=asbs。 (2)拓展:=as-t,=,其中a>0,b>0,s,t∈R。 微提醒 　　记忆口诀:同底数幂乘除,指数加减;幂的乘方,指数相乘;积商的幂等于幂的积商。 　 类型一 无理指数幂的运算 　　【例1】　化简下列各式: (1)×2; (2)(1+)[(--1)-2(+(×(。 解　(1)×2=×(33=×==32=9。 (2)(1+)[(--1)-2(+(×( =(1+)[(+1)-2(+( =(1+)(+1(+()2 =(1+)(+1)-1(+2 =(+2=2+。 　　无理指数幂的运算与有理指数幂的运算一样按运算法则进行 【变式训练】　求值:(1)××; (2)(+×。 解　(1)××==8。 (2)(+×=+=25+2=27。 类型二 实数指数幂的应用 　　【例2】　计算下列各式(式中字母都是正数): (1); (2)。 解　(1)原式=5×××=24x0=24。 (2)原式===+。 　　(1)化简结果的一个要求和两个不能。 (2)幂的运算的常规方法。 ①化负指数幂为正指数幂。 ②化根式为分数指数幂。 ③化小数为分数进行运算 【变式训练】　化简:(1)÷; (2)-。 解　(1)÷=÷()÷[(a-1)÷(b)=÷(=÷ab=。 (2)原式=- =- =-=0。 类型三 指数幂的综合运用 　　【例3】　解方程: (1)4x+2x-2=0; (2)81×32x=。 解　(1)原方程可化为(2x)2+2x-2=0, 则2x=1或2x=-2(舍去),所以x=0。 (2)因为81×32x=, 所以32x+4=3-2(x+2), 即2x+4=-2(x+2),解得x=-2。 　　(1)利用指数幂的运算法则,两端化为同底数的幂,从而利用指数相等解方程。 (2)把未知数为指数的幂看作一个新未知数,用换元法求解 　 　　　　　 　　　　　　　　　 　　【变式训练】　解方程:22x+2+3×2x-1=0。 解　因为22x+2+3×2x-1=0, 所以4×(2x)2+3×2x-1=0。 令t=2x,则方程可化为4t2+3t-1=0,解得t=或t=-1,得2x=或2x=-1(舍去),解得x=-2。 忽视被开方数的符号致错 　　【典例】　计算+的值为　　　　。  【易错解法】　+=1++1-=2。故填2。 【易错探因】　是偶次算术根,因而结果非负,而1-<0,导致出错。 【正确解答】　+=1++|1-|=2。 【答案】　　2 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 1.(多选)下列等式一定成立的有 (　　) A.=2a B.||= C.-3= D.= 解析　A中,=×a≠2a;B中,||=,==,成立;C中,=×=-3,成立;D中,==,成立。故选BCD。 答案　BCD 2.5-2的算术平方根是 (　　) A.+ B.- C.- D.±(-) 解析　因为[±(-)]2=(-)2=5-2,所以5-2的算术平方根为-。故选B。 答案　B 3.已知a+b=,ab=,其中a>0,则a3+b3= (　　) A.0 B. C.- D. 解析　a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=[(a+b)2-3ab]=×=。故选B。 答案　B 4.(0.001+(27-+=　　　　。  解析　原式=(10-3+(33-(2-2+(3-2=10+9-2+27=44。 答案　44 5.已知x-2+x2=2且x>1,求x2-x-2的值。 解　因为x>1,所以x2>1,0<x-2<1,即x2-x-2>0,又因为(x2-x-2)2=x4+x-4-2=x4+x-4+2-4=(x2+x-2)2-4=(2)2-4=4,所以x2-x-2=2。 学科网（北京）股份有限公司 $$