4.1.1 第1课时 有理指数幂 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 第1课时　有理指数幂 　　公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。 1.理解n次方根及根式的概念; 2.能运用根式运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力; 3.体会分类讨论思想的运用。 　 知识点一、n次方根、根式 　　1.a的n次方根的定义:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根。 2.a的n次方根的表示。 n的分类 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0,+∞) 　　3.根式的定义:当有意义时,称为根式,n称为根指数,a称为被开方数。 　　4.根式的性质。 (1)()n=　a　(n∈N*且n>1)。  (2)=　0　。  (3)=　a　(n为大于1的奇数)。  (4)=|a|=(n为大于1的偶数)。 知识点二、分数指数幂 　　1.意义。 分数指数幂 正分数 指数幂 ①=(a>0); ②=()m=(a>0,m,n∈N*,且为既约分数) 负分数 指数幂 =(a>0,m,n∈N*,且为既约分数) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 　　2.运算法则。 (1)前提:a>0,b>0,s,t都是有理数。 (2)法则:asat=as+t;(as)t=ast;(ab)s=asbs。 微提醒 　　(1)分数指数幂是指数概念的又一推广,分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法。在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已。 (2)正数的负分数指数幂在有意义的情况下,总表示正数,而不是负数。把根式化成分数指数幂的形式时,不要轻易对进行约分。 微思考 与()n有何区别? 提示:①是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n的奇偶限制。其算法是对a先乘方,再开方(都是n次),结果不一定等于a,当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|= ②()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶决定。其算法是对a先开方,后乘方(都是n次),结果恒等于a。 　 类型一 根式的概念 　　【例1】　(1)25的平方根为　　　　,-27的3次方根为　　　　。  答案　±5　-3 (2)已知=a-1,求a的取值范围。 解　因为==|a-1|=a-1,所以a-1≥0,解得a≥1,即a的取值范围为[1,+∞)。 　　(1)任意实数的奇次方根只有一个,正数的偶次方根有两个且互为相反数。 (2)对于,当n为偶数时,只有a≥0才有意义 【变式训练】　(1)设f(x)=,若0<a≤1,求f; 解　fa+====a-。 因为0<a≤1,所以a≤,所以fa+=-a。 (2)求使等式=(3-a)成立的实数a的取值范围。 解　 = =|a-3|, 要使|a-3|=(3-a)×成立, 需解得-3≤a≤3, 即实数a的取值范围为[-3,3]。 类型二 运用根式的性质化简与运算 　　【例2】　化简下列各式。 (1); (2)(a>b); (3)若-有意义,化简+2。 解　(1)=|3-π|=π-3。 (2)=|a-b|=a-b(a>b)。 (3)由已知则≤x≤2。所以+2=+2|x-2|=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3。 　　(1)n为奇数时,()n==a,a∈R;n为偶数时,a≥0,()n有意义,且()n=a;a为任意实数时,均有意义,且=|a|。 (2)当n为偶数,先化为|a|,再由a的正负去掉绝对值符号 【变式训练】　求下列各式的值。 (1)+; (2)()6+()3(y>x); (3)已知x∈[1,2],化简()4+。 解　(1)+=-2+|2-π|=-2-2+π=π-4。 (2)()6+()3=y-x+(x-y)=0。 (3)因为x∈[1,2],所以x-1≥0,x-2≤0,所以()4+=(x-1)+=x-1+|x-2|=x-1-x+2=1。 类型三 根式与分数指数幂互化及运算 　　【例3】　(1)将下列根式化为分数指数幂: ①=　　　　(m>0);②=　　　　;  ③=　　　　。  解析　②原式=[×==31=3。 ③原式====。 答案　①　②3　③ (2)将下列分数指数幂化为根式: ①=　　　　;②=　　　　(x≥0);③=　　　　(a≠0)。  答案　①　②　③ (3)计算:(a-2b-3)×(-4a-1b)÷(1