主题二 第三章 培优课(二) 隐零点与极值点偏移问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，人教A版）

培优课(二)　隐零点与极值点偏移问题 [知识解读] 1.隐零点 利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,按导函数零点能否求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧,对学生综合能力的要求较高,成为考查的难点. (3)极值点偏移问题的一般题设形式 ①若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点); ②若函数f(x)存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点); 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 隐零点问题 [典例1] 已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; 函数最值中的“隐零点” 解:(1)由题意,函数f(x)=(x-a)ex(a∈R), 可得f′(x)=(x-a+1)ex, 当x∈(-∞,a-1)时,f′(x)<0; 当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)>0, 故函数f(x)在(-∞,a-1)上单调递减, 在(a-1,+∞)上单调递增. [典例1] 已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R). 零点问题求解“三步曲” (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程f′(x0)=0,并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围. (2)以零点为分界点,说明导函数f′(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式. (3)将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简证明,有时(1)中的零点范围还可以适当缩小. 注意:当题设条件中出现“参数为整数”(如本题“b∈Z”)时,此类问题一般为隐零点的卡点问题,要利用零点存在定理,把隐零点的范围精准地找出来,才能正确求出参数的值. [拓展演练] 设函数f(x)=e2x-aln x(a为大于零的常数),已知f′(x)=0有唯一零点,求f(x)的最小值. 不等式证明中的“隐零点” 解决“隐零点”问题的关键是利用隐零点等式进行零点的代换,从而达到“指、对转幂”的目的.把“隐零点”等式代入最值式是证明不等式的常用技巧. (1)判断函数f(x)的单调性; (2)证明:f(x)-x<ln 2-2. 极值点偏移问题 [典例3] 已知函数f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1,x2, 证明:x1+x2>2. 对称化构造 对称化构造,主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下: (1)定函数(极值点为x0),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0. (3)判断单调性,即利用导数讨论F(x)的单调性. (4)比较大小,即判断函数F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系. (5)转化,即利用函数f(x)的单调性,将f(x)与f(2x0-x)的大小关系转化为x与2x0-x之间的关系,进而得到所证或所求. [拓展演练] 已知函数f(x)=(x-1)ex-a,a∈R. (1)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围; (1)解:由f(x)=0得a=(x-1)ex,令g(x)=(x-1)ex,因为g′(x)=ex+(x-1)ex=xex, 由g′(x)>0得x>0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 由g′(x)<0得x<0, 所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以当x=0时,函数g(x)有极小值同时也是最小值, g(x)min=g(0)=-1,当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→-∞时,g(x)<0,且g(x)→0, 则要使a=g(x)有两个不同的零点,则-1<a<0,即当-1<a<0时,函数f(x)有两个零点. [拓展演练] 已知函数f(x)=(x-1)ex-a,a∈R. (2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x2<0. (2)证明:因为x1,x2是函数f(x)的两个零点, 所以由(1)知x1x2<0,且f(x1)=f(x2)=0, 不妨设x1<0,x2>0,则-x2<0, 令F(x)=f(x)-f(-x)=(x-1)ex+(1+x)e-x, 则F′(x)=x(ex-e-x),当x<0时,F′(x)=x(ex-e-x)>0,此时F(x)在(-∞,0)上为增函数, 所以F(x)<F(0),即F(x)=f(x)-f(-x)<0,即f(x)<f(-x), 因为-x2<0,所以f(-x2)<f(x2), 因为f(x1)=f(x2)=0,所以f(-x2)<f(x1), 由(1)知,f(x)在(-∞,0)上为减