主题三 第六章 第6节 复 数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教A版）

第6节　复　数 [课程标准要求] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的定义. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b. (2)复数的分类 复数z=a+bi(a,b∈R) (3)复数相等 a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数 a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R). (5)复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R). 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R). (2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量(O为坐标原点). 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法:===+i(c+di≠0). (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 1.(1±i)2=±2i;=i;=-i. 2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*). 3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|, ||=,|zn|=|z|n. 1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)等于(　D　) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 解析:(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i. 2.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　A　) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 解析:由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0, 所以解得 3.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　A　) A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 解析:法一　由题意知a+b+2ai=2i, 所以 解得 法二　由题意知a+b+(2a-2)i=0, 所以 解得 4.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+等于(　D　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:因为i(1-z)=1,所以z=1-=1+i, 所以=1-i,所以z+=1+i+1-i=2. 5.若复数z=,则|z|=　　　　.  解析:因为z===-i(i+1)=1-i,因此,|z|==. 答案: 复数的有关概念 1.(2022·浙江卷)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　B　) A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 解析:(b+i)i=-1+bi,则由a+3i=-1+bi, 得a=-1,b=3. 2.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b等于(　A　) A.-2 B.1 C.2 D.4 解析:==b-2i, 由题意得b=-2. 3.(多选题)若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(　ABC　) A.z的虚部为-1 B.|z|= C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为-1-i 解析:z===1-i,z的虚部为-1,模为|z|=,故A,B正确;因为z2=(1-i)2=-2i,故z2为纯虚数,C正确;z的共轭复数为1+i,D错误. 4.复数z满足|z-1|=|z+3|,则|z|(　C　) A.恒等于1 B.最大值为1,无最小值 C.最小值为1,无最大值 D.无最大值,也无最小值 解析:设z=a+bi(a,b∈R), 因为|z-1|=|z+3|, 所以|a-1+bi|=|a+3+bi|, 即(a-1)2+b2=(a+3)2+b2, 解得a=-1, 所以|z|=≥1, 所以|z|有最小值为1,无最大值. (1)复数z=a+bi(a,b∈R),其中a,b