主题三 第七章 第6节 利用空间向量求空间角-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，北师大版）

第6节　利用空间向量求空间角 1.在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(　　) A. B.1 C. D. 2.如图,圆锥的顶点是S,底面中心为O,OC是与底面直径AB垂直的一条半径,D是母线SC的中点. (1)设圆锥的高为4,异面直线AD与BC所成角的余弦值为,求圆锥的体积; (2)当圆锥的高和底面半径是(1)中的值时,求直线AB与平面ACD所成角的正弦值. 3.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,平面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90° ,且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°. (1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC; (2)求二面角EBCA的余弦值. 4.(2022·广东佛山二模)如图,在以P,A,B,C,D为顶点的五面体中,平面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AD=CD=AB,平面PAD⊥平面PAB, PA⊥PB. (1)求证:△PAD为直角三角形; (2)若AD=PB,求直线PD与平面PBC所成角的正弦值. 5.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD=AD,∠DAB =60°. (1)证明:AD⊥PB; (2)若异面直线PB与CD所成角的余弦值为,求二面角APBC的余弦值. 6.(2022·河北石家庄高三二模)如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形,P为棱A1B1上一点,且PA=PB,F为CD的中点. (1)证明:AB⊥PF; (2)若AB=AD=PD=2.当直线PB与平面PCD所成的角为45°,且二面角PCDA的平面角为锐角时,求三棱锥BAPD的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6节　利用空间向量求空间角 1.C　设直三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2,如图所示,以A为原点,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,2),M(,1,1),B(,1,0),N(0,1,0),则=(,1,-1), =(-,0,0). 设异面直线A1M与BN所成角为θ, 则cos θ===, 所以sin θ==, 所以tan θ==, 所以异面直线A1M与BN所成角的正切值为. 2.解:(1)以点O为坐标原点,分别以OC,OB,OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示, 设OA=r,因为高h=4,则D(,0,2),B(0,r,0),C(r,0,0),A(0,-r,0), S(0,0,4),所以=(,r,2),=(r,-r,0), 因为异面直线AD与BC所成角的余弦值为, 则==,解得r=2,所以圆锥的体积V=πr2h=. (2)由(1)可得,A(0,-2,0),B(0,2,0),D(1,0,2), C(2,0,0), 所以=(0,4,0),=(2,2,0),=(1,2,2),设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,则n=(1,-1,), 设直线AB与平面ACD所成的角为θ, 则sin θ===, 故直线AB与平面ACD所成角的正弦值为. 3.(1) 证明:由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE, 又FE∩DF=F, 所以AF⊥平面EFDC. 又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)解:过D作DG⊥EF,垂足为G, 由(1)知DG⊥平面ABEF. 以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系. 由(1)知∠DFE为二面角DAFE的平面角, 故∠DFE=60°,则DF=2,DG=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,) . 由已知,AB∥EF, 所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC=DC, 故AB∥CD,CD∥EF. 由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC, 所以∠CEF为二面角CBEF的平面角, ∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,). 所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0). 设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则 即 所以可取n=(3,0,-). 设m是平面ABCD的法向量,则 同理可取m=(0,,4). 则cos<n,m>==-. 又二面角EBCA为钝角, 故二面角EBCA的余弦值为-. 4.(1)证明:在等腰梯形ABCD中,作DH⊥AB于点H,连接BD,如图, 则AH=(AB-CD)=AD,DH=AD,且BH=AD,则tan∠BDH==, 即∠BDH=60°,而∠ADH=30°,因此,∠ADB=90°,即AD⊥BD, 因为平面PAD⊥平面PAB,平面PAD∩平面PAB=PA,PB⊂平面PAB,而PA⊥PB, 所以PB⊥平面PAD,又AD⊂平