主题三 第七章 第7节 空间距离及立体几何中的探索性问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，北师大版）

第7节　空间距离及立体几何中的探索性问题 1.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E是线段AB的中点. (1)证明:BD⊥平面AA1C1C; (2)若P是线段BC上的动点,求点P到平面B1DE的距离的取值范围. 2.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=2, AA1=. (1)求直线A1C与AB1所成角的余弦值; (2)设M为AC的中点,在平面BCC1内找一点N,使得MN⊥平面A1BC,求点N到平面ABC和平面ABB1的距离. 3.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD的中点. (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值; (3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为?若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由. 4.(2022·江苏苏州调研)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,AA1=AB,点D,E分别为棱BC,B1C1上的点,且==t(0<t<1). (1)若t=,求证:AD∥平面A1EB; (2)若二面角C1ADC的大小为,求实数t的值. 5.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=2,E为PB的中点,点F在棱PC上,且=λ(λ∈[0,1]). (1)求直线CE与直线PD所成角的余弦值; (2)当直线BF与平面CDE所成的角最大时,求此时λ的值. 6.如图1,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,动点E,F在边AD,AB上(不含端点),且存在实数λ使=λ(0<λ<1),沿EF将△AEF向上折起得到△PEF,使得平面PEF⊥平面BCDEF,如图2所示. (1)若BF⊥PD,设三棱锥PBCD和四棱锥PBDEF的体积分别为V1,V2,求; (2)试讨论,当点E的位置变化时,二面角EPFB是否为定值?若是,求出该二面角的余弦值,若不是,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7节　空间距离及立体 几何中的探索性问题 1.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形, 所以BD⊥AC, 因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以AA1⊥BD, 因为AC∩AA1=A,AC,AA1⊂平面AA1C1C, 所以BD⊥平面AA1C1C. (2)解:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),E(2,1,0),B1(2,2,2), 设P(a,2,0)(0≤a≤2),则=(a,2,0), =(2,1,0),=(2,2,2), 设平面B1DE的法向量为n=(x,y,z), 由 则 令x=1,则y=-2,z=1,则n=(1,-2,1). 设点P到平面B1DE的距离为h, 所以h===(4-a)∈[,], 所以点P到平面B1DE的距离的取值范围是[,]. 2.解:(1)根据题设可知AB,BC,BB1两两垂直,以B为坐标原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,0,),A1(1,0,), C(0,2,0), 所以=(-1,0,),=(-1,2,-), 所以cos <,>===-, 所以直线A1C与AB1所成角的余弦值为. (2)由条件知M(,1,0).因为点N在平面BCC1内,可设其坐标为N(0,a,b), 则=(-,a-1,b). 因为MN⊥平面A1BC, 所以MN⊥BC,MN⊥BA1, 由(1)可得=(0,2,0),=(1,0,), 所以 解得a=1,b=, 所以点N(0,1,),其到平面ABC的距离为,到平面ABB1的距离为1. 3.(1)证明:因为四边形ABCD为正方形, 则BC⊥AB,CD⊥AD, 因为PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB, 所以BC⊥平面PAB. 因为PA⊂平面PAB,所以PA⊥BC. 因为PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D, PD,AD⊂平面PAD. 所以CD⊥平面PAD, 因为PA⊂平面PAD,所以PA⊥CD, 因为BC∩CD=C,BC,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD. (2)解:因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1), 设平面ACE的法向量为m=(x,y,z), 则=(2,2,0),=(0,1,1),=(2,2,-2), 由 取y=1,可得m=(-1,1,-1), cos<