专题12 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想之七大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题12 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想之七大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 三角形中，利用面积求边上的高】 1 【类型二 结合乘法公式巧求面积或长度】 6 【类型三 巧妙割补求面积】 9 【类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 13 【类型五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 21 【类型六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 28 【类型七 实际问题中的方程思想】 31 【典型例题】 【类型一 三角形中，利用面积求边上的高】 例题：（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）如图，在3 ×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的斜边上的高是 ． 4．（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt中，，，，于． 求：（1）斜边的长； （2）高的长． 5．如图，在中，，，在中，是边上的高，，． (1)求的长． (2)求斜边边上的高． 6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，，，，是斜边上高． (1)求的面积； (2)求斜边； (3)求高． 【类型二 结合乘法公式巧求面积或长度】 例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（       ） A．18 B．24 C．18或24 D．18或30 3．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________． 【类型三 巧妙割补求面积】 例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形中，已知，，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【变式训练】 1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.    2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 3．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）四边形草地中，已知，，，，且为直角．    (1)求这个四边形草地的面积； (2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？ 4．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．    (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积； (3)求证：． 【类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 例题：（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系． (2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________． 【变式训练】 1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，求两个月牙形图案的面积之和（阴影部分的面积）． 3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为． (1)求A，B，C，D四个正方形的面