3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）教学设计

一、课时教学内容

1. 双曲线的简单几何性质
2. 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率

二、课时教学目标

1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．

2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．

3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．

三、教学重点、难点

1. 重点：双曲线的几何特征，双曲线的标准方程，以及它的简单几何性质.
2. 难点：双曲线的渐近线及离心率的意义

四、教学过程设计

环节一 创设情境，引入课题

问题1：(1)双曲线的标准方程是什么？（2）前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？

类比椭圆的几何性质的研究，

你认为应该研究双曲线   ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？

探究1：类比椭圆＋＝1(a>b>0)的几何性质，

借助－＝1(a>0，b>0)探讨双曲线几何性质。

探究要求：要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲。

设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生自主探究，

深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评。

活动成果：

（1）

（2）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)。

（3）线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长。

       

环节二 观察分析，感知概念

1．范围

 问题2：观察双曲线的形状，你能从图上看出它的范围吗？

类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是(图3.2-7)．

下面利用双曲线的方程求出它的范围．

由方程①可得

，

于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即

，．

所以或，．

这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域．

2．对称性

问题3：观察双曲线的形状，你能从图上看出双曲线具有怎样的对称性？哪些点比较特殊？

类比研究椭圆对称性的方法容易得到，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．

3. 顶点

问题4：什么是双曲线的顶点？

类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点，．因为轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．

问题5：双曲线的对称轴与双曲线有几个交点？这说明它有几个顶点？这与椭圆有何异同？

令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把