3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质 （第1课时） 导学案 学习目标 1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养． 2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养． 3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养． 重点难点 1. 重点：掌握双曲线的简单几何性质 2. 难点：理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 课前预习 自主梳理 预习课本P121～126，思考并完成以下问题 1．双曲线有哪些几何性质？ 2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？ 3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？ 知识点一　双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1( ,0)，F2( ,0) F1(0， )，F2(0， ) 焦距 |F1F2|＝ 范围 x≤ 或 x≥ ，y∈ y≤ 或 y≥ ，x∈ 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 A1( ,0)，A2( ,0) A1(0， )，A2(0， ) 轴 实轴：线段 ，长：； 虚轴：线段 ，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈( ) 渐近线 y＝ y＝ 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．(　　) (2)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　　) (3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　　) (4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　　) 2.已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 3.双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且线段的中点在另一条渐近线上．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5.双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且│AB│是的等差中项，则│AB│等于（    ） A．8 B．4 C．2 D．8 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 问题1：(1)双曲线的标准方程是什么？（2）前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？ 类比椭圆的几何性质的研究， 你认为应该研究双曲线 ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 探究1：类比椭圆＋＝1(a>b>0)的几何性质， 借助－＝1(a>0，b>0)探讨双曲线几何性质。 探究要求：要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲。 设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评。 活动成果： （1） 椭圆＋＝1(a>b>0) 双曲线－＝1(a>0，b>0) 范围 －a≤x≤a　－b≤y≤b x≥a或x≤－a，y∈R 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) 离心率 e＝，0<e<1 e＝，e>1 （2）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)。 （3）线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长。 环节二 观察分析，感知概念 1．范围 问题2：观察双曲线的形状，你能从图上看出它的范围吗？ 类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是(图3.2-7)． 下面利用双曲线的方程求出它的范围． 由方程①可得 ， 于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即 ，． 所以或，． 这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域． 2．对称性 问题3：观察双曲线的形状，你能从图上看出双曲线具有怎样的对称性？哪些点比较特殊？ 类比研究椭圆对称性的方法容易得到，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 1. 顶点 问题4：什么是双曲线的顶点？ 类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点，．因为轴是双曲线的对称轴