第31练 直线与抛物线的位置关系【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之解析几何篇

第31练 直线与抛物线的位置关系 【基础练】 1．（2023·浙江·高二学业考试）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. （1）求该抛物线的方程； （2）为坐标原点，求的面积. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由． 3．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C经过点． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线和直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9． (1)求E的方程； (2)若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为等边三角形，求m的值． 5．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知抛物线的焦点为，过点斜率为1的直线与抛物线相交所截得的弦长为2. (1)求的值并写出抛物线焦点的坐标； (2)设点是抛物线外任意一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，探究：是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 6．（2023·甘肃·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，当直线过点时，点到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是4. (1)求抛物线的方程； (2)当时，设抛物线在点处的切线交于点，求证：. 7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）过点，斜率为的直线l与抛物线相切于点N，且. (1)求抛物线C的方程； (2)斜率为的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由. 8．（2023·全国·高二专题练习）过抛物线C：上一点作C的切线，交C的准线于点. (1)求点M的坐标； (2)A，B是C上与M不重合的两点，，O为原点，当点O到直线AB距离最大时，求直线AB的方程. 9．（2023秋·贵州黔西·高三校考阶段练习）已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小3. (1)求抛物线的准线方程； (2)若过点的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 10．（2023春·江西赣州·高二江西省全南中学校考期中）过点的直线与拋物线交于点，（在第一象限），且当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)若，延长交抛物线于点，延长交轴于点，求的值. 【提升练】 11．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，圆，过C上一点作C的切线，该切线经过点． (1)求C的方程； (2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求面积的最大值． 12．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线C：y2=2px（p>0），M是其准线与x轴的交点，过点M的直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的坐标为（4，y0）时，有． (1)求抛物线C的方程； (2)设点A关于x轴的对称点为点P，证明：直线BP过定点，并求出该定点坐标． 13．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l1: 过椭圆C: 的左焦点，且与抛物线M: 相切. (1)求椭圆C及抛物线M的标准方程; (2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由. 14．（2023·陕西铜川·统考二模）已知点为抛物线的焦点，点，，若过点作直线与抛物线顺次交于，两点，过点作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求证：直线过定点． 15．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同． (1)求抛物线C的方程； (2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值，并求此时直线l的方程． 16．（2023·陕西安康·统考三模）已知 为抛物线上一点． (1)求抛物线的准线方程； (2)过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，求的值． 17．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线C：，过的直线与C相交于A