第30练 双曲线中的定点、定值【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之解析几何篇

第30练 双曲线中的定点、定值 【基础练】 1．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆：，，P是圆上的一个动点，线段的垂直平分线l与直线交于点M．记点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：为定值． 2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于. (1)求双曲线的方程. (2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．      (1)求k的取值范围； (2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论． 4．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知为双曲线的左、右焦点，的离心率为为上一点，且. (1)求的方程； (2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 5．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线垂直. (1)求的标准方程； (2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 6．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线，与轴交于点，与双曲线的一条渐近线交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)设过点与轴不重合的直线交双曲线于两点，直线分别交于点，求证：. 7．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值. 8．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知，为双曲线E：（，）的左、右焦点，E的离心率为，M为E上一点，且. (1)求E的方程； (2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的A，B两点，且点M在以线段AB为直径的圆上，过M作，垂足为C，是否存在点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由. 9．（2023·全国·高二专题练习）已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 10．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知双曲线的左顶点为，渐近线方程为.直线交于两点，直线的斜率之和为-2. (1)证明：直线过定点； (2)若在射线上的点满足，求直线的斜率的最大值. 【提升练】 11．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点． (1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值； (2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 12．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积． 13．（2023·吉林·统考模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为 (1)求双曲线的标准方程； (2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为. （i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）求直线和交点的轨迹方程. 14．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知双曲线C的渐近线方程为，点在双曲线C上，直线与双曲线交于A，B两点，记斜率分别为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在常数k，使为定值，若存在，求常数k和的值，不存在说明理由． 15．（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线，左､右顶点分别为，经过右焦点垂直于轴的直线与相交于两点，且. (1)求的方程； (2)若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于，两点，记直线的斜率为，的斜率为，那么是否为定值？并说明理由. 16．（2023·广东·高三专题练习）已知双曲线的