第28练 双曲线的弦长、焦点弦【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之解析几何篇

第28练 双曲线的弦长、焦点弦 【基础练】 1．（2023·四川广元·校考模拟预测）已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的 (1)求双曲线C的标准方程； (2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由. 2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线C：的焦距为4，且过点. (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值. 3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点. (1)求C的标准方程； (2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度. 4．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线. （1）若双曲线的一条渐近线方程为，求双曲线的标准方程；         （2）设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若，且的面积为9，求的值. 5．（2022·江苏·高二专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为， (1)求双曲线C的方程； (2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值． 6．（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且． (1)求双曲线的方程； (2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值． 7．（2023·广东揭阳·普宁市华侨中学校考二模）在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 8．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切， (1)求圆心的轨迹方程 (2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值. 9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 10．（2022秋·高二单元测试）已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M､N，问为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【提升练】 11．（2022秋·云南昆明·高二东川明月中学校考期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为． （1）求双曲线的方程； （2）经过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求证：． 12．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积． 13．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且. (1)求C的方程； (2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围. 14．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线. (1)若的坐标为，求证：为的角平分线； (2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值. 15．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为． (1)求与的方程； (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求． 16．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且. (1)求双曲线及其渐近线的方程； (2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，