第27练 椭圆中的定点、定值【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之解析几何篇

第27练 椭圆中的定点、定值 【基础练】 1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 2．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，． (1)求的方程； (2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上． 3．（2022·西藏昌都·校考一模）已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上是否存在一点使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点． (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值. 6．（2022秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期末）已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上． （1）求E的方程； （2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值． 7．（2023春·贵州贵阳·高二统考期末）已知椭圆的离心率为为的右焦点，过点作与轴不重合的直线，交于两点，当与轴平行时，. (1)求的方程； (2)为的左顶点，直线分别交直线于两点，求的值. 8．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 9．（2023·全国·高二专题练习）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值． 10．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上不同的两点，且点在轴上方，，直线，交于点.已知当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在以，为焦点的定椭圆上. 【提升练】 11．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，当垂直于轴时，且的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左顶点为，当不与轴重合时，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使，求证：三点共线. 12．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的一个顶点，是顶角为120°的等腰三角形． (1)求椭圆的方程； (2)过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 13．（2023·甘肃·统考二模）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点． ①证明：直线CD过椭圆右焦点； ②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 14．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明： （i）的面积等于的面积； （ii）为定值． 15．（2023·江苏扬州·校考二模）已知椭圆：的右焦点为在椭圆上，的最大值与最小值分别是6和2. (1)求椭圆的标准方程. (2)若椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，直线分别与直线交于两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 16．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知椭圆的离心率是，是椭圆C上一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 17．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆过点，长轴长为. (1)求椭圆的方程及其焦距； (2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 18．（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于