第23练 直线与椭圆的位置关系【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之解析几何篇

第23练 直线与椭圆的位置关系 【基础练】 1．（2023·全国·高二专题练习）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值． 2．（2023·陕西西安·统考二模）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值. 3．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，． (1)求的方程； (2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上． 4．（2023春·贵州贵阳·高二统考期末）已知椭圆的离心率为为的右焦点，过点作与轴不重合的直线，交于两点，当与轴平行时，. (1)求的方程； (2)为的左顶点，直线分别交直线于两点，求的值. 5．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为4.椭圆与直线相交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）求弦长 6．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在平面直角坐标系中，若椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点. （1）求的周长； （2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值； （3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，，若，求点的坐标. 7．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 8．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上下顶点，，点在椭圆上，为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于轴上方两点，．若，试判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由． 9．（2023·四川成都·统考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且与轴垂直． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为A，为坐标原点，过作斜率大于0直线交椭圆于、两点，直线与坐标轴不重合，若与的面积比为，求直线的方程． 10．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值． 【提升练】 11．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆过点和，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值． 12．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切． (1)求椭圆的方程． (2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点． （i）求直线与的斜率之积； （ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程． 13．（2023·广东·高三专题练习）已知圆O的方程为，P为圆上动点，点F坐标为，连OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A． (1)求点A的轨迹方程； (2)记点A的轨迹为曲线C，过点作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线与直线n交于点H，记．，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．（2023·全国·高三专题练习）已知点A为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于B，C两点． (1)记直线AB，AC的斜率分别为，试判断是否为定值?并说明理由； (2)直线AB，AC分别交直线于M，N两点，当时，求线段MN长度的取值范围． 15．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 16．（2023·广西梧州·校考一模）已知离心率为的椭圆（）过点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点，且，，求直线AB的斜率． 17．（2023春·云南楚雄·高二校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，、分别是其左、右焦点，若是椭圆上的右顶点，且． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），问直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 18．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为