主题三 第七章 第5节 空间向量及空间位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，北师大版）

第5节　空间向量及空间位置关系 [课程标准要求] 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 名称 概念 表示 零向量 模为 的向量 0 单位向量 模为 的向量 — 相等向量 方向 且模 的向量 . 相反向量 方向 且长度 的向量 a的相反向量-a 共线向量 表示向量的两条有向线段所在的直线 的向量 . 共面向量 平行于同一 的向量 — 1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 0 1 相同 相等 a=b 相反 相等 平行或重合 a∥b 平面 (2)空间向量中的有关结论 ①空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb; ②在平面内,任意给定两个不共线的向量a,b,根据平面向量基本定理,对于该平面内的任意一个向量p,存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb. ③空间向量基本定理:如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫作空间的一组 . 2.空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积 ①a·b= ; ②a⊥b⇔ ; ③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|= . 基 |a||b|cos<a,b> a·b=0 (2)空间向量的坐标运算 a1b1+a2b2+a3b3=0 a1b1+a2b2+a3b3 3.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量,一条直线有 个方向向量. (2)平面的法向量 如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量.显然一个平面的法向量有 个,它们是共线向量. 无数 无数 (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1= λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 1.空间向量基本定理的三点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量. (3)基选定后,空间的所有向量均可由这组基唯一表示. 1.若{a,b,c}为空间的一组基,则下列各项中能构成空间的基的一组向量是 (　　) A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b} C D 3.已知向量a=(0,-1,1)与b=(0,k-2,k2)共线,则实数k等于(　　) A.0 B.1 C.-1或2 D.-2或1 D ABD 答案:∈ 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 空间向量的线性运算 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 共线向量、共面向量的应用 (1)利用共线向量定理可以证明直线的平行与三点共线问题. (2)利用共面向量定理可以判定空间四点是否共面以及证明线面平行问题. [针对训练] 1.已知空间四个点A(-3,x,3),B(-2,-1,4),C(0,3,0),D(1,1,1)在同一个平面内,则实数x等于(　　) A.1 B.-2 C.0 D.-1 2.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)(m,n∈R)三点共线,则m+n=　　　　.  答案:-3 空间向量的数量积及其应用 [例3] 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; [例3] 如图所示,已知空间四边形A